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Note on the simple group of order 504. (English) JFM 30.0143.02

Verf. beweist folgendes Theorem: Hat man zwei Operationen \(A\) und \(B\) zwischen denen die folgenden vier Relationen: \[ A^7=1;\,B^2=1;\,(AB)^3=1;\,(A^3BA^5BA^3B)^2=1\tag{"}\text{(I)}" \] bestehen so erzeugen \(A\) und \(B\) eine einfache Gruppe der Ordnung 504. Um dieses Resultat herzuleiten, zeigt Burnside, dass die obigen Relationen überhaupt eine endliche Gruppe definiren, und ferner, dass die so definirte Gruppe holoedrisch isomorph mit der durch \[ x' = \frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta};\,\alpha\delta- \beta\gamma\text{ nicht }\equiv0\pmod 2 \] definirten Congruenzgruppe, wobei \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) Potenzen einer Wurzel der irreduciblen Congruenz \[ \mu^3 + \mu + 1\equiv0\pmod 2 \] bedeuten ist. Diese zuletzt hingeschriebene Congruenzgruppe liefert bekanntlich die einfache Gruppe der Ordnung 504 (vergl. etwa Weber’s Algebra 2, 320); dieselbe lässt sich durch \(a\) oder \(x'=\mu x\) und \(b\) oder \(x'=\frac{x+\mu^2}{\mu^2x+1}\) erzeugen; \(a\) und \(b\) genügen auch den Relationen I.

MSC:

20F05 Generators, relations, and presentations of groups
20D08 Simple groups: sporadic groups
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