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A criterion for algebraic numbers. (Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen.) (German) JFM 30.0195.02
Die Kettenbruchentwickelung einer reellen Zahl \(a\) fällt nach einem berühmten von Lagrange entdeckten Theoreme stets und nur dann periodisch aus, wenn \(a\) die Wurzel einer irreduciblen ganzzahligen Gleichung zweiten Grades ist. In der gewöhnlichen Kettenbruchentwickelung besitzt man also ein ausreichendes Kriterium für eine reelle algebraische Zahl zweiten Grades. Es sind zahlreiche Versuche gemacht, in ähnlicher Weise für algebraische Zahlen höherer Grade erschöpfende Kriterien zu gewinnen; doch war dies selbst im nächst folgenden Falle der Zahlen dritten Grades noch nicht vollständig gelungen. Dem Verf. ist es nun geglückt, vermöge derjenigen Methoden, welche er bereits bei der Lösung einer Reihe anderer wichtiger Probleme der Zahlentheorie mit Erfolg benutzt hat, ein nicht nur ganz allgemeines, sondern auch erschöpfendes Kriterium für algebraische Zahlen zu entwickeln, welches jenes von Lagrange angegebene Theorem als niedersten Specialfall umfasst. Das Minkowski’sche Kriterium für algebraische Zahlen \(n\)ten Grades ist folgendes:
Es sei \(a\) irgend eine reelle oder complexe Zahl. Die beiden Fälle, dass \(a\) rational oder eine complexe Zahl zweiten Grades ist, erweisen sich als elementar und sollen weiterhin ausgeschlossen sein. Man bilde, unter \(n\) eine natürliche Zahl verstanden, mit Hülfe ganzzahliger rationaler \(x\) die Zahlen: \[ \xi = x_1 + x_2a + x_3a^2 +\cdots+ x_na^{n-1}, \] deren Gesamtheit nach Dedekind eine “Ordnung” heisst. In der Ordnung giebt es von 0 verschiedene Zahlen, deren Beträge der Null beliebig nahe kommen.
Schreiben wir jedoch \(|x_k|\leqq r\) vor, wo \(r\) eine bestimmte natürliche Zahl ist, und schliessen ausserdem die Combination \(x_1=0\), \(x_2=0\), ..., \(x_n=0\) aus, so restiren nur noch endlich viele Zahlen \(\xi\). Aus dem so beschränkten Zahlsystem der \(\xi\) greifen wir nach sogleich anzugebender Vorschrift \(n\) specielle Zahlen: \[ \begin{aligned} \alpha_1 &= p_1^{(1)} + p_2^{(1)}a + p_3^{(1)}a^2 +\cdots+ p_n^{(1)}a^{n-1},\\ \alpha_2 &= p_1^{(2)} + p_2^{(2)}a + p_3^{(2)}a^2 +\cdots+ p_n^{(2)}a^{n- 1},\\ \dots &\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\ \alpha_n &= p_1^{(n)} + p_2^{(n)}a + p_3^{(n)}a^2 +\cdots+ p_n^{(n)}a^{n- 1}\end{aligned} \] heraus. Erstlich soll die Determinante \(|p_k^{(h)}|\) der ganzzahligen \(p\) von 0 verschieden sein. Diese Forderung hat keine Schwierigkeit; man kann sogar die \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ... \(\alpha_n\) successive wählen, wobei nur jedes folgende System \(p_1^{(k)}\), \(p_2^{(k)}\), ..., \(p_n^{(k)}\) “von den voraufgehenden unabhängig” auszuwählen ist. Die Hauptvorschrift ist, dass die \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ... \(\alpha_n\) möglichst kleine absolute Beträge haben sollen, wobei, wir der Grösse nach anordnen: \[ |\alpha_1|\leqq|\alpha_2|\leqq\cdots\leqq|\alpha_n|. \] Da ein simultaner Zeichenwechsel aller Zahlen \(p_1^{(h)}\), \(p_2^{(h)}\), ..., \(p_n^{(h)}\) der \(h\)ten Reihe an diesen Bedingungen nichts ändert, so wird noch vorgeschrieben, dass die letzte nichtverschwindende unter jenen \(n\) Zahlen \(>0\) ist. Es lässt sich zeigen, dass die absoluten Beträge \(|\alpha_1|\), \(|\alpha_2|\), ... \(|\alpha_n|\) durch die Angabe von \(r\) eindeutig bestimmt sind, während freilich die \(n\) Systeme \(p_1^{(h)}\), \(p_2^{(h)}\), ..., \(p_n^{(h)}\) den angegebenen Bedingungen gemäss wenigstens in Specialfällen noch mehrdeutig bestimmbar sind.
Um die weiter folgenden Angaben leicht aussprechen zu können, wird aus den fraglichen ganzen Zahlen \(p\) die durch \(P\) zu bezeichnende Substitution hergestellt: \[ x_k = p_k^{(1)}z_1 + p_k^{(2)}z_2 +\cdots+ p_k^{(n)}z_n\qquad(k=1,2,\dots,n), \] durch welche die in den Unbestimmten \(x_k\) lineare Form \(\xi\) übergeführt wird in die Form: \[ \xi P = \chi = \alpha_1z_1 + \alpha_2z_2 +\cdots+ \alpha_nz_n. \] Da \(P\) nicht immer durch \(r\) eindeutig bestimmt ist, so heisst \(P\) “eine zur Zahl \(r\) gehörende Substitution”.
Man setze jetzt zunächst für \(r\) die Zahl \(r_1=1\) ein und bilde eine zugehörige Substitution \(P_1\). Letztere kann auch noch zur Zahl 2, 3, ... gehören. , Es sei \(r_2\) die kleinste Zahl, zu der \(P_1\) nicht mehr gehört; eine solche Zahl \(r_2\) tritt notwendig ein. Man bilde nun eine zur \(r_2\) gehörende Substitution \(P_2\), welche auch noch zu \(r_2+1\), ...,\(r_3-1\) gehöre. Für \(r_3\) bilde man \(P_3\) und fahre in der gleichen Weise fort. So entsteht eine unendliche Kette von Substitutionen \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\). Schliesst man die beiden oben genannten Specialfälle, dass \(a\) eine rationale Zahl ist oder einem imaginären quadratischen Körper angehört, nicht aus, so muss man hier unentschieden lassen, ob die Kette der Substitutionen \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), ... . unendlich ist oder abbricht. Thatsächlich ist für jene beiden Fälle die letztere Alternative charakteristisch.
Vermöge der \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), ... transformiren wir die lineare Form \(\xi\) in die Formen der unendlichen Kette \(\chi_1\), \(\chi_2\), \(\chi_3\), .... Dann gilt Folgendes:
1. Ist \(a\) nicht eine algebraische Zahl \(n^{\text{ten}}\) oder niederen Grades, so sind alle unendlich vielen Gleichungen   =0,  ,=O,... verschieden (d. h. keine zwei Formen unterscheiden sich bloss durch einen Factor), und in jeder Form \(\chi\) sind alle Coefficienten \(a\) von Null verschieden.
2. Ist \(a\) eine algebraische Zahl \(n^{\text{ten}}\) Grades, so kommen unter den unendlich vielen Gleichungen \(\chi_1=0\), \(\chi_2=0\), ... nur endlich viele verschiedene vor; in der einzelnen Form \(\chi\) sind die Coefficienten \(\alpha\) stets sämtlich von Null verschieden.
3. Ist \(a\) eine algebraische Zahl \((n-m)^{\text{ten}}\) Grades, so kommen unter den unendlich vielen Gleichungen \(\chi_1=0\), \(\chi_2=0\), ... gleichfalls nur endlich viele verschiedene vor; in den Formen \(\chi\) sind von einer gewissen an stets die \(m\) ersten Coefficienten \(\alpha\) gleich 0, während die \(n-m\) übrigen beständig von Null verschieden sind.
Uebrigens ist wegen der unter 3. genannten Fälle noch eine Zusatzbestimmung betreffs Auswahl der Substitutionen \(P\) nötig, welche man jedoch a. a. O. nachsehen wolle.

MSC:
11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers
11J70 Continued fractions and generalizations
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Full Text: EuDML