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Zusatz zur vorigen Abhandlung. (Russian) JFM 30.0214.02

Mosk. Math. Samml. 20, No. 4, 535-548 (1899).
Die Abhandlung (siehe JFM 30.0214.01) giebt die Ausführung zu einem Teile der Andeutungen der vorläufigen Mitteilung des Verfs. (F. d. M. 29, 187, 1899, JFM 29.0187.01), nämlich die Anwendungen der Methode der angenäherten Rechnung auf das J. Bernoulli’sche Theorem. Der Uebergang vom genauen Ausdruck \(P=\sum\limits_{n=n'}^{n=n''}\frac{s!}{n!(s-n)!}p^nq^{s-n}\) \((-l\leqq n- ps\leqq+l)\) zum angenäherten \(Q=\frac1{\sqrt{\pi}}\int\limits_{- g}^{+g}e^{-x^2}dx\,\left(g=\frac l{\sqrt{2pqs}}\right)\) führt dreierlei Fehler ein: 1. Anwendung der Stirling’schen Formel, 2. Uebergang von der Summe zum Integral, 3. angenäherte Berechnung des letzteren. Für die bei diesen drei Momenten begangenen Fehler werden gesondert Grenzen bestimmt; hierdurch ergiebt sich der absolute Betrag der Totalfehler kleiner als: \[ \frac{\sqrt s}{\sqrt{2\pi n_0(s-n_0)}} + Q\left\{\frac{lsa+l^3}{sa.(sa- l)}e^{\frac{l^3+3sa}{3sa(sa-l)}} + \frac1{12n_1} + \frac1{12(s- n_1)}\right\}. \] \(n_0\) ist eine ganze Zahl, welche dem Ausdruck \(\left(\frac{sp}n\right)^n\left(\frac{sq}{s-n}\right)^{s-n}\frac{\sqrt s}{\sqrt{2\pi n(s-n)}}\) den Maximalwert giebt, \(n_1\) diejenige unter \(n'\), \(n''\), welche für \(\frac1n + \frac1{s-n}\) den grösseren Wert giebt, \(a\) die grössere unter \(p\), \(q\). Dieser Ausdruck wird bequem nur für \(l/s\) von der Ordnung \(\geqq\frac12\) (§I). Wenn \(l/s\) von der Ordnung \(<\frac12\) ist, wird in §II eine andere Form für \(Q\) angegeben. Zu diesem Zweck wird die angenäherte Berechnung des Integrals \(u=\int\limits_{sp-1}^{sp+1}\left(\frac{sp}n\right)^n\left(\frac{sq}{s- n}\right)^{s-n}\frac{\sqrt s}{\sqrt{2\pi n(s-n)}}dn\) anders ausgeführt: es wird \(n=s(p+z)\) gesetzt, \(\psi(z)=e^{-w^2}\); \(u=\sqrt{\frac s{2\pi}}\int\limits_{-w_1}^{+w_2}e^{-sw^2}\pi(z)dw\) und \(\pi(z)\) mit Hülfe der Reihe von Lagrange nach Potenzen von \(w\) entwickelt (hier treten die Untersuchungen des Verfs. über diese Reihe ein aus Mosk. Math. Samml. 12). Dann wird \(P=Q_1+h_1\), wo \(Q_1\) sich von \(Q\) durch Grenzbestimmungen unterscheidet und für \(h_1\) auch die Grenzen angegeben sind; es sind Grössen von der Ordnung \(\frac12\) in Bezug auf \(l/s\) (§II). Weitere complicirtere, aber zugleich genauere Ausdrücke für \(P\) (deren Fehler von der ersten Ordnung wird), die in der vorläufigen Mitteilung angegeben waren (F. d. M. 29, 187, JFM 29.0187.01), werden jetzt berechnet (§III).
In der zweiten Abhandlung wird erstens ein Fehler von H. Laurent (Calcul des probabilités, S. 101; in (6) muss \(\sum\mu\) statt der endlichen Grösse \(\mu\) stehen, welche Grösse mit \(s\) unendlich wird) besprochen Weiter folgen einige Berichtigungen und fernere Ausführungen; auch ein Beispiel wird ausgerechnet.

MSC:

60-XX Probability theory and stochastic processes