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Addition to the memoire on divergent series. (Addition au mémoire sur les séries divergentes.) (French) JFM 30.0230.04

Die Arbeit (siehe JFM 30.0230.03) hat im Jahre 1898 in Paris von der Akademie den grossen Preis der mathematischen Wissenschaften erhalten.
Im ersten Kapitel bespricht der Verf. die Reihen mit positiven Gliedern, die alternirenden Reihen und stellt eine Tabelle für die Ordnung, von welcher Functionen für \(x=+\infty\) unendlich werden, auf. Diese Ordnung ist z. B. für \(x^a\) gleich \(a\), für \(\varphi_1=e^x\) gleich \(\omega\), für \(\varphi_2(x)=e^{e^x}\) gleich \(\omega^2\), für \(\varphi_m(x)=e^{\varphi_{m-1}(x)}\) gleich \(\omega^m\), für \(\log x\) gleich \(\frac1{\omega}=\omega^{-1}\), für \(\log\log x=log^{(2)}x\) gleich \(\omega^{-2}\), für \(\varphi_{-m}(x)=\log^{(m)}x\) gleich \(\omega^{-m}\). Ist die Ordnung einer Function grösser als \(\omega^m\), wie gross auch \(m\) sein mag, so wird dafür auch gesagt, sie ist grösser als \(\omega^\omega\).
Ist eine Differentialgleichung erster Ordnung \(f(x,y,y')=0\) gegeben, wo \(f\) eine ganze rationale Function von \(x\), \(y\), \(y'\) bedeutet, so ist die Ordnung, von welcher \(y\) unendlich wird, kleiner als \(\omega^2\). Ebenso ist die Ordnung, von welcher das Integral der Differentialgleichung \(f(x,y,y',y'')=0\) unendlich wird, kleiner als \(\omega^3\), d. h. \(y>e^{e^{e^x}}\).
Ist \(f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots\) eine Taylor’sche Reihe mit positiven Coefficienten und dem Convergenzradius 1, welche für \(z=1\) divergent ist, so ist \(a_0+a_1+a_2+\cdots\) stärker divergent als die Reihe \(\sum\limits_1^\infty\frac1{p\log p\log^{(2)}p\dots\log^{(n-1)}p}\).
Wenn \(x\) sich einer Grenze \(\alpha\) nähert, so kann (wenigstens für hinreichend benachbarte Werte) die Function \(y\) gegen eine Grenze \(\beta\) convergiren, indem sie sich immer in demselben Sinne ändert. Ist dies nicht der Fall, so heisst \(y\) oscillirend. Dabei kann \(y\) eine einzige Grenze haben. Hat jedoch \(y\) unendlich viele Grenzen, so erfüllen diese ein Intervall \((\beta_1,\beta_2)\); \(y\) ist dann unbestimmt für \(x=\alpha\), und \((\beta_1,\beta_2)\) heisst das Feld der Unbestimmtheit von \(y\). Ist \(\beta\) ein Wert dieses Intervalls \((\beta_1,\beta_2)\), so hat die Gleichung \(y=\beta\) unendlich viele Wurzeln, wenn \(x\) gegen \(\alpha\) convergirt. Setzt man \(\frac1{|x-\alpha|}=z\), und bezeichnet man durch \(\theta(z)\) die Anzahl der Wurzeln der Gleichung \(y=\beta\) zwischen \(\alpha_1\) und \(\alpha\) \((\alpha_1<\alpha)\), so ist \(\theta(z)\) ein Mass für die Menge dieser Wurzeln. Die Unbestimmtheit heisst regelmässig oder unregelmässig, je nachdem alle Gleichungen \(y=\beta\) dieselbe Menge von Wurzeln haben oder nicht.
Es wird nun \(\alpha=\beta=0\) genommen, und die Wurzeln der Gleichung \(y'=0\), wenn \(x\) durch positive Werte sich der Null nähert, werden in 4 Arten geteilt, je nachdem ihnen positive Maxima, negative Minima, positive Minima oder negative Maxima entsprechen; \(\theta_1(z)\), \(\theta_2(z)\), \(\theta_3(z)\), \(\theta_4(z)\) seien die zugehörigen Functionen \(\theta(z)\), dann hat die Function \(y\) einfach-sinusartigen Typus, wenn \(\theta_3(z)\) und \(\theta_4(z)\) bei unendlich wachsendem \(z\) endlich bleiben. Der einfach-sinusartige Typus heisst regelmässig, wenn die Function \(\psi(z)=\frac1{|y|}\) mit \(z\) beständig wächst \(\left(z=\frac1{|x|}\right)\).
Ist \(f(y,y',x)=0\) eine Differentialgleichung erster Ordnung, nimmt dann ein Integral \(y\) unendlich oft den Wert 0 an, wenn \(x\) durch positive Werte wachsend unendlich wird, so gehört \(y\) dem regulären, einfach- sinusartigen Typus an.
Eine Function einer complexen Veränderlichen \(z\) wird in einem wesentlich singulären Punkte unbestimmt, ist aber eindeutig in seiner Umgebung. Die Gleichung \(f(z)=a\) besitzt dann in der Nähe des singulären Punktes unendlich viele Wurzeln. Man ziehe durch einen singulären Punkt beliebiger Art zwei gerade Linien, welche einen Winkelraum \(A\) einschliessen. Nimmt die Function innerhalb \(A\) und in der Umgebung des singulären Punktes nicht den Wert \(a\) an, sondern Werte, die beliebig wenig von \(a\) verschieden sind; ist ferner die Ordnung, von der \(\frac1{|f(z)-a|}\) in Bezug auf \(\frac1{|z|}\) unendlich wird, wenn \(z\) auf innerhalb \(A\) befindlichen Wegen \(C\) gegen Null convergirt, beständig kleiner als \((1+\varepsilon)\omega\) (d. h. ist der Modul kleiner als \(e^{(1+\varepsilon)x}\), wo \(x\) eine reelle Veränderliche bedeutet), und ist sie für unendlich viele Wege \(C\) nicht kleiner als \((1- \varepsilon)\omega\), so ist die “Function \(y\) von der Ordnung 1 bezüglich des Winkels \(A\), der Wege \(C\) und des Ausnahmewertes \(a\)”. Hat die Gleichung \(f(z)=a\) dagegen innerhalb \(A\) eine unendliche Zahl von Wurzeln, und ist diese Zahl von derselben Unendlichkeitsordnung wie für einen wesentlich singulären Punkt von der Ordnung 1, so heisst die Function von der Ordnung 1 in Bezug auf den Winkelraum \(A\) und den gemeinsamen Wert \(a\).
Eine durch eine algebraische Differentialgleichung \(f(x,z,z',\dots,z^{(n)})=0\) definirte Function \(z=y+it\), wobei \(x\) reell ist, ist von einer Ordnung, die kleiner als \(\omega^\omega\) ist.
Ist \(f(x,z,z')=0\) eine algebraische Differentialgleichung erster Ordnung der complexen Veränderlichen \(z=y+it\), so kann man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung \(F(x,y,y',y'')=0\) herleiten; wenn dann \(y\) nicht unendlich oft unendlich wird und beständig wächst, so ist von einem bestimmten Werte von \(x\) an \(y<e^{e^{e^x}}\).
Im 2. Kapitel wird die verallgemeinerte Summe \(s\) einer Reihe \(u_0+u_1+u_2+\cdots\) erklärt: es ist, wenn \(s(a)=\sum c_ns_n\left(c_n= \frac{a^n}{n!}\right)\) gesetzt wird, \(s=\lim e^{-a}s(a)\) für \(a=\infty\). Setzt man \(u_1(a)=s'(a)-s(a)\), \(u(a)=u_0+\int\limits_0^a u_1(a)da\), so ist unter der Voraussetzung, dass \(\lim e^{-a}u(a)=0\) für \(a=\infty\) ist, \(s=\int\limits_0^\infty u(a)e^{-a}da\). Die Reihe \(u_0+u_1+u_2+\cdots\) heisst summirbar, wenn dies Integral einen Sinn hat.
Der Verf. bestimmt den Bereich der Summirbarkeit der Taylor’schen Reihe, er beweist u. a. den Satz:
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass \(f(z)\) über einen Bogen \(\alpha\beta\) des Convergenzkreises hinaus analytisch fortsetzbar sei, besteht in der Existenz einer positiven Zahl \(\varrho>1\) von der Art, dass, wenn der Modul von \(z\) gleich \(\varrho\) ist und das Argument gleich demjenigen eines Punktes eines im Innern von \(\alpha\beta\), aber beliebig wenig von \(\alpha\beta\) verschiedenen Bogens \(\alpha'\beta'\) ist, das Product \(e^{-a}F(az)\) gegen Null convergirt, wenn \(a\) unendlich wird. Dabei heisst \(F(z)=a_0+a_1z+\frac{a_2z^2}{2!}+ \frac{a_3z^3}{3!}+\cdots\) die zu \(f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots\) adjungirte ganze Function.
Ist \(z=1\) der einzige singuläre Punkt auf dem Convergenzkreis, und setzt man \[ \begin{split} \psi_p(a) = a_0 + a_1z +\cdots+ a_{p-1}z^{p-1} + \frac a1(a_pz^p +\cdots+ a_{2p-1}z^{2p-1})\\ +\fracwithdelims(){a^2}{2!}(a_pz^p +\cdots+ a_{3p-1}z^{3p-1}) +\cdots,\end{split} \] so gilt:
1. Wenn man eine hinreichend kleine Zahl \(\alpha\) finden kann, für welche das Product \(e^{-a}\psi_p(a)\) für alle Werte von \(z=(1+\alpha)e^{i\omega}\), für welche \(\frac{\pi}{2p}<\omega<\frac{3\pi}{2p}\), \(\frac{-3\pi}{2p}<\omega<\frac{- \pi}{2p}\) bei beliebigem \(p\) ist, gegen Null convergirt, so hat \(f(z)\) keine singulären Punkte deren Modul kleiner als \(1+\alpha\) ist.
Wenn jedoch für irgend einen Wert von \(p\) dies Product nicht gegen Null ccnvergirt, so liefert das Integral \(\int\limits_0^\infty e^{- a}\psi_p(a)da\) die Singularitäten der Function \(f(z)\), deren Modul kleiner als \(1+\alpha\) ist.
2. Wenn \(f(z)\) keinen singulären Punkt ausserhalb der reellen Axe; in der Nähe von \(z=1\) hat und \(x>1\) und \(\varepsilon\) positiv ist, so wird gesetzt \[ \theta(x) = \lim_{\varepsilon=0}[f(xe^{i\varepsilon}) - f(xe^{-i\varepsilon})], \] wo \(f(xe^{i\varepsilon})\) denjenigen Wert bedeutet, der sich ergiebt, wenn man auf der Geraden \(\omega=\varepsilon\) zum Punkte \(xe^{i\varepsilon}\) gelangt. Setzt man \(z=xe^{\frac{i\pi}{2p}}\), \(\frac{a^n}{n!}=a^{[n]}\), und bezeichnet man durch \(E(y)\) die grösste ganze in \(y\) enthaltene Zahl, so handelt es sich darum, ob \[ f(z) = \int_0^\infty e^{-a}\left(\sum a_nx^n e^{\frac{ni\pi}p} a^{[(E\frac np)]}\right)da \] bei unendlich wachsendem \(p\) gegen eine Grenze convergirt, und ob dieser Ausdruck für alle in 1. definirten Wert \(z\) gegen dieselbe Grenze convergirt. Dieselbe Untersuchung ist zu machen, wenn \(i\) durch \(-i\) ersetzt wird. Wenn beide Grenzen existiren, so ist \[ \theta(x) = \lim_{p=\infty}2i\int_0^\infty e^{-a}\left(\sum a_nx^n \sin\frac{n\pi}p a^{[E\fracwithdelims()np]}\right)da. \] Im 3. Kapitel werden die Taylor’schen Reihen untersucht, deren Convergenzkreis gleich Null ist; eine solche Reihe kann unter Umständen eine Function asymptotisch darstellen. Das Verhältnis \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\) kann keine andere Grenze als 0 haben; ihre Argumente sind dann sämtlich singulär, oder es ist nur ein einziges Argument singulär, d. h. es giebt eine Richtung, nach welcher die Reihe schneller divergirt als nach jeder andern; es ist gleich der Grenze von \(a_n:a_{n+1}\), wenn diese Grenze existirt.
Die Aufgabe, eine Potenzreihe \(f(z)\) zu bestimmen, welche für gegebene Werte von \(z\), nämlich \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\), ..., gegebene Werte \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), ... annimmt, ist unbestimmt. Sie kann zu einer bestimmten gemacht werden durch gewisse Bedingungen (Ungleichungen); diesen müssen dann die gegebenen Grössen genügen. Ist \(F(u)=a_0+a_1u+\frac{a_2u^2}{2!}+ \frac{a_3u^3}{3!}+\cdots\) in einem Winkelraum \(A\), welcher die reellen und positiven Werte von \(u\) enthält, eine reguläre analytische Function, und ist die divergente Reihe \[ f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 +\cdots \] nicht überall divergent, so kann \(f(z)\) in der Form \[ f(z) = \int_0^\infty F(u)e^{-\frac zu}\frac{du}u \] dargestellt werden, falls eine solche positive Zahl \(k\) existirt, dass das Product \(F^{(p)}(u)e^{-ku}\) gleichmässig gegen Null convergirt, wenn der Modul von \(u\) in diesem Winkel unendlich gross wird. Dies wird auch so ausgedrückt: \(z=0\) ist für \(f(z)\) ein Punkt von der Art \(A\); in der Umgebung dieses Punktes existirt für \(z\) ein Winkel (genauer ein Sector), der Regularität, d. h. im Innern dieses Winkels sind \(f(z)\) und die Ableitungen von \(f(z)\) regulär und convergiren für \(z=0\) gegen \(a_0\), \(a_1\), \(1\cdot2a_2\), \(1\cdot2\cdot3\cdot a_3\), ... Oder \(f(z)\) ist von der Art \(A\).
Es sei \(f(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)})=0\) eine Differentialgleichung \(n\)ter Ordnung, die rational in \(x,y,y',\dots,y^{(n)}\) ist, und \(f(0,y_0,y_0',\dots,y_0^{(n)})=0\); ist es nun möglich, aus den Gleichungen \[ \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}y' +\cdots+ \frac{\partial f}{\partial y^{(n)}}y^{(n+1)} = 0, \]
\[ \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial f}{\partial x\partial y}y' +\cdots+ \frac{\partial f}{\partial y}y'' +\cdots+ \frac{\partial f}{\partial y^{(n)}}y^{(n+2)} = 0\text{ etc.} \] die Ableitungen von \(y\) für \(x=0\) zu berechnen, so bilde man die divergente Reihe: \[ y = y_0 + \frac{y_0'}1x + \frac{y_0''}{1\cdot2}x^2 +\cdots = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots, \] welche formell der Differentialgleichung genügt. Wenn dann diese Reihe von der Art \(A\) ist, so definirt sie eine Function der Art \(A\), welche der Differentialgleichung genügt und in dem Winkel der Regularität die Anfangsbedingungen erfüllt. Beispiele: \[ x\frac{d^2y}{dx^2} + y = \alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2 + \delta x^3 +\cdots,\tag{"}\text{1.}" \]
\[ x^2\frac{dy}{dx} + y = x^2.\tag{"}\text{2.}" \] Im 5. Kapitel wird gesetzt: \[ a_{2n} = \frac{A_n^2}{B_nB_{n-1}}\text{ und } a_{2n+1} = \frac{B_n^2}{A_nA_{n+1}};\quad A_0 = B_0 = 1; \]
\[ A_n = \begin{vmatrix} c_0&c_1&\dots& c_{n-1}\\ c_1&c_2&\dots& c_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_{n-1}&c_n&\dots& c_{2n-2}\end{vmatrix};\quad B_n = \begin{vmatrix} c_1&c_2&\dots& c_n\\ c_2&c_3&\dots& c_{n+1}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_n&c_{n+1}&\dots& c_{2n-1}\end{vmatrix}; \] die \(c_p\) werden als reell und positiv vorausgesetzt, dann ist die divergente “Stieltjes’sche Reihe” \[ \frac{c_0}z - \frac{c_1}{z^2} + \frac{c_2}{z^3} - \frac{c_3}{z^4} + \frac{c_4}{z^5} -\cdots \] gleich dem Kettenbruch: \[ \frac1{a_1z+}\frac1{a_2+}\frac1{a_3z+}\frac1{a_4+}\frac1{a_5z+} \cdots\frac1{+a_{2^n}z+}\frac1{a_{2^{n+1}}+}\cdots \] Der Kettenbruch ist convergent, wenn \(a_1+a_2+a_3+\cdots\) divergent ist; er stellt in der ganzen Ebene (vielleicht mit Ausnahme des negativen Teils der reellen Axe) eine holomorphe Function dar, welche durch das Integral \[ F(z) = \int_0^\infty \frac{f(u)du}{z+u} \] dargestellt werden kann. Dabei ist \(f(u)\) eine positive Function, und es ist \[ c_k = \int_0^\infty u^k f(u)du. \] Die Beziehung zwischen der Reihe und dem Integral ist, wie Stieltjes bewiesen hat, eindeutig, wenn die Bedingung \(S\) erfüllt ist, d. h. wenn die \(A_n\), \(B_n\) positiv sind und die Reihe \(a_1+a_2+a_3+\cdots\) divergent ist.
Der Verf. nimmt, um die Bedingung \(f(u)>0\) durch eine andere zu ersetzen, statt \(f(u)\) eine reelle Function \(\sigma(u)\), welche er als eine Stieltjes’sche Function bezeichnet, und setzt \[ \Theta(u) = |\sigma(u)|; \] dabei ist angenommen, dass \(e^{b\sqrt u}\Theta(u)\) für \(u=\infty\) gegen Null convergirt bei geeigneter Wahl von \(b\). Dann genügt \(\Theta(u)\) den Bedingungen \(S\). Einer Stieltjes’schen Reihe entspricht nur eine Stieltjes’sche Function; sind \(f(u)\) und \(f_1(u)\) zwei Stieltjes’sche Functionen, so ergiebt sich die Darstellung \[ F(z) = \int_0^\infty \frac{f(u)du}{z+u} - \int_0^\infty \frac{f_1(u)du}{z+u}. \] Jedes dieser beiden Integrale entspricht einem Stieltjes’schen Kettenbruch.
In dem Nachtrag zu dieser Arbeit zieht Borel einige Folgerungen aus einem Mittag-Leffler’schen Satze (Stockh. Akad. Bihang. Mai 1898).
Es seien \(b\) und \(a\) \((b<a)\) positive Zahlen, \(a\) grösser als 1, \(\varepsilon\) eine unendlich kleine Grösse. Die Reihe \[ \frac1{1-x} = \sum_0^\infty P_n(x),\quad P_n(x) = \sum_{k=1}^{k,n} c_{nk}x^k \] convergirt gleichmässig für \(z=\theta ae^{i\varepsilon}\), wo \(\theta\) von 0 bis 1 variirt und \(\varepsilon\) gegeben ist; die Convergenz hört für \(\varepsilon=0\) auf, gleichmässig zu sein. Das Maximum der absoluten Beträge der Glieder der Reihe für einen gegebenen Wert von \(\varepsilon\) ist eine positive Function \(F(\varepsilon)\) welche für \(\varepsilon=0\) unendlich wird. Setzt man \[ \left|\frac1{A_n}\right| > n^2F\left(\frac1{n^2}\right)\quad(b<|a_n|<a),\text{ so hat die Function} \]
\[ f(z) = \sum\frac{A_n}{z-a_n} \] eine Taylor’sche Entwickelung \(\alpha_0+\alpha_1z+\alpha_2z^2+\cdots\); entwickelt man sie in der Form \[ f(z) = \sum \pi_n(z),\quad\pi_n(z) = \sum_{k=1}^{k,n} \gamma_{nk}z^k \] so hat man den Convergenzbereich weiter ausgedehnt. Diese Ausdehnung kann dazu führen, wesentlich singuläre Linien zu überschreiten.

MSC:

40G10 Abel, Borel and power series methods

Citations:

JFM 30.0230.03
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