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Essay on divergent series. (Essai sur les séries divergentes.) (French) JFM 30.0236.01

Es handelt sich um die Eigenschaften einer analytischen Function, welche durch eine Taylor’sche Reihe \(f(z)=\sum c_nz^n\) mit einem endlichen, von Null verschiedenen Convergenzradius definirt ist, im ganzen Existenzbereich der Function, namentlich um die Berechnung ihrer singulären Punkte, ihrer Nullstellen und ihres numerischen Wertes in einem beliebigen Punkte.
Verbindet man den Nullpunkt mit den verschiedenen singulären Punkten \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ... von \(f(z)\), so bestimmen die in ihnen auf den Verbindungslinien errichteten Lote das Summirbarkeitspolygon. Hat \(f(z)\) in einer Fläche \(C\), die den Convergenzkreis enthält, nur Pole und ist \(E(az)=\sum\frac{c_na^nz^n}{n!}\) die von Borel eingeführte adjungirte Function von \(f(z)\), so ist \[ \begin{split} c_n = \frac{A_{m0}}{\alpha_0^{n+m+1}}(n+1)\cdots(n+m) + \frac{A_{m-10}}{\alpha_0^{n+m}}(n+1)\cdots(n+m-1)\\ +\cdots+ \frac{A_{m1}}{\alpha_1^{n+m+1}}(n+1) +\cdots+ b_n,\end{split} \]
\[ f(z) = \sum\frac{A_{m\nu}}{(\alpha_\nu-z)^(m+1)} + \varphi(z), \]
\[ E(az) = \sum\frac{A_{m\nu}}{\alpha_\nu}\varphi_m \fracwithdelims(){az}{\alpha} e^{a\frac z{\alpha_\nu}} + E'(az). \] Darin ist \(\varphi(z)=\sum b_nz^n\) eine innerhalb \(C\) holomorphe Function und hat einen grösseren Convergenzkreis; \(E'(az)\) ist die adjungirte Function von \(\varphi(z)\).
Sind nun die \(\alpha\) von der Art, dass man \(z\) in \(C\) so bestimmen kann, dass der reelle Bestandteil von \(\left|\frac z{\alpha_\nu} - \frac z{\alpha_0}\right|<0\), derjenige von \(\left|\frac z{\alpha_0} - 1\right|>0\) ist, so ist \[ \lim_{a=+\infty} E(az)^{\frac1{\alpha}} = e^{\frac z{\alpha_0}}. \] In dieser Weise kann man die auf den Seiten des Summirbarkeitspolygons gelegenen Pole berechnen, dann auch die singulären Punkte von \[ \varphi(z) = \int_0^1 V(t)f(zt)dt, \] ebenso die logarithmischen Punkte, die kritischen Punkte von der Form \[ \frac{A_\nu}{\left(1-\frac z{\alpha}\right)^{\omega_\nu+1}},\text{ u. s. w.} \] Wenn die Singularitäten der Reihe \(\sum u_n(z)\) durch die Gleichungen \(f(z,1)=0\) \((\nu=1,2,\dots)\) gegeben sind, so werden die Singularitäten der Reihe \(\sum c_nu_n(z)\) durch die Gleichungen \(f_\nu\left(z,\frac1{\alpha_i}\right)=0\) gegeben, wo die \(\alpha\) die singulären Punkte von \(\sum c_ny^n\) sind.
Wenn \(f(z)=\sum a_nz^n\) in einem zum Convergenzkreis concentrischen Kreise vom Radius \(\varrho\) nur Pole hat, so kann man die Coefficienten eines Polynoms \(P_q(z)=1+A'z+A^{(2)}z^2+\cdots A^{(q)}z^q\) so bestimmen, dass das Product \(P_q(z)f(z)\) in diesem Kreise holomorph ist, und man kann den Wert von \(f(z)\) in einem beliebigen Punkte innerhalb dieses Kreises berechnen; dazu braucht man nicht die Coefficienten \(a_n\) selbst, sondern nur die Werte von \(u_n=a_nz^n\) zu kennen. Dasselbe gilt für Punkte des Snmmirbarkeitspolygons.
Wenn die Functionen \(f(z)=\sum C_nz^n\) und \(\varphi(z)=\sum \delta_nz^n\) die singulären Punkte \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ..., bezüglich \(\beta_1\), \(\beta_2\), ... haben, so folgt aus der Cauchy’schen Formel für die Function \(F(z)=\sum C_n\delta_n z^n\) \[ F(z) = \int_C \frac{f(t)}t\varphi\fracwithdelims()zt\,dt, \] wo \(C\) eine einfach zusammenhängende, den Nullpunkt und den Punkt \(z\) umschliessende Curve ist, für welche \(t=\alpha_i\) und \(t=\frac z{\beta_i}\) \((i=1,2,\dots)\) äussere Punkte sind, und längs deren man \(f(t)\) und \(\varphi\fracwithdelims()zt\) summiren kann; dann kann man den Wert von \(F(z)\) für den Punkt \(z\) berechnen.
Ist \(S_n\) die Summe der \(n\) ersten Glieder einer Reihe, \(a\) ein reeller Parameter, so ist, wenn nach Borel \[ \theta(a) = e^{-a}\sum\frac{a_nS_n}{n!} \] gesetzt wird, \(\lim\theta(a)\) für \(a=\infty\) gleich \(S_n\) oder gleich der analytischen Fortsetzung von \(S_n\), je nachdem \(\lim\theta(a)\) existirt oder nicht.
Verbindet man den Nullpunkt mit den verschiedenen singulären Punkten und errichtet in den Endpunkten auf diesen Geraden die Lote, so erhält man den Summirbarkeitsbereich, d. h. den Bereich, in welchem \(\theta(a)\) convergirt.
Aehnliche Eigenschaften wie \(\theta(a)\) hat \[ \theta_p(a) = e^{-a_p}\sum\frac{a^{pn}}{n!}S_{pn}; \] es sind dann die Curven \(\frac{\varrho}a\cos(\theta-\omega)=1\) durch \(\frac{\varrho^p}{\alpha^p}\cos p(\theta-\omega)=1\) zu ersetzen (\(\varrho\), \(\omega\) gehören zum singulären Punkt).
Statt \(\theta(a)\) können auch andere Functionen, z. B. \[ \sum_{p_\nu} A_\nu e^{a_\nu a^p}\text{ oder }e^{\sqrt a}+e^{-\sqrt a}\text{ oder }\sum_{\nu=0}^p e^{C_\nu},\quad C_\nu^p-a^q=0 \] gewählt werden; im letzten Falle sind die Seiten des Summirbarkeitspolygons die Curven \(\left(\frac{\varrho}{\alpha}\right)^{\frac qp}\cos\frac qp(\theta- \omega)=1\).
Sind \(\Gamma_1\), \(\Gamma_2\), ..., \(\Gamma_p\) die Summirbarkeitsbereiche von \(\theta_1\), \(\theta_2\), ..., \(\theta_p\), und liegt \(z\) im Innern von einem oder mehreren der \(\Gamma\), so ist \[ \lim\frac{\theta_1^{-1}(a) + \theta_2^{-1}(a) +\cdots+ \theta_p^{-1}(a)} {\theta_1^{-2}(a) + \theta_2^{-2}(a) +\cdots+ \theta_p^{-2}(a)} \] gleich der Summe \(S\) der zu summirenden Reihe; dieser Grenzwert ist unbestimmt, wenn \(z\) auf einer der die Bereiche \(\Gamma_1\), ..., \(\Gamma_p\) begrenzenden Curven oder ausserhalb aller Curven liegt.
Man kann also eine Function, welche nur isolirte singuläre Punkte hat, in der ganzen Ebene summiren mit Ausnahme einer Anzahl von Linien.
Nach weiterer Bildung von Ausdrücken ähnlicher Art wird gezeigt, dass die geometrische Reihe in jedem Punkt der Ebene summirt werden kann.
Ist eine analytische Function durch eine Taylor’sche Reihe \[ \varphi(z) = \sum a_nz^n\tag \(\alpha\) \] definirt, so kann man eine Entwickelung der Function \[ \varphi(z) = \sum c_n\overline{f(z)}^n\tag \(\beta\) \] in einem zusammenhängenden Bereich \(A\) finden, welcher den Nullpunkt und keinen singulären Punkt der Function enthält. Stellt dann \((\gamma)\quad Z=f(z)=\delta_1z+\delta_2z^2+\cdots\) die conforme Abbildung des Bereiches \(A\) auf dem Kreis vom Radius 1 dar, so genügt es für die Berechnung der Entwickelung \((\beta)\), d. h. der \(c_\nu\), die numerischen Werte der Glieder von \((\alpha)\) und \((\gamma)\) zu kennen.

MSC:

40C15 Function-theoretic methods (including power series methods and semicontinuous methods) for summability
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