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Osservazioni sopra alcune equazioni differenziali lineari. (Italian) JFM 30.0287.03

In der ersten Note (siehe JFM 30.0287.02) werden lineare homogene Differentialgleichungen \(n\)ter Ordnung \(G(y)=0\) betrachtet, welche die Eigenschaft haben, mit ihrer Adjungirten \(G'(z)=0\) zu derselben Art zu gehören, so dass also die Beziehung \[ y = a_0z + a_1z' +\cdots+ a_{n-1}z^{(n-1)} \] besteht, wo die \(a\) Functionen der unabhängigen Variable \(x\) sind, die zu dem Rationalitätsbereich der Coefficienten von \(G\) gehören. Es ergiebt sich dafür als notwendig und hinreichend, dass die Rationalitätsgruppe von \(G=0\) sich aus den linearen Substitutionen zusammensetzt, die eine bilineare Form mit cogredienten Variabeln von nicht verschwindender Determinante ungeändert lassen. Ist die letztere symmetrisch, und führt man für jede der Reihen der Variabeln dieselbe Reihe \(y_1\), ..., \(y_n\) ein, so erhält man eine quadratische Form \(\varphi\), die für alle Operationen der Rationalitätsgruppe von \(G=0\) invariant bleibt und daher, falls man für \(y_1\), ..., \(y_n\) die Lösungen von \(G=0\) nimmt, rational bekannt ist. Hat die Differentialgleichung für \(G=0\) in Bezug auf die Form \(\varphi\) den Rang \(r\geqq0,\leqq\frac12(n-1)\), d.h. hat man bei passend gewählten Lösungen \(y_1\), ..., \(y_n\) identisch \(\varphi(y)=\varphi(y')=\cdots=\varphi(y^{(r-1)})=0\), aber \(\varphi(y^{(r)})\neq0\), dann transformirt sich \(G'(z)=0\) in \(G(y)=0\) durch die Substitution \[ y = a_0z + a_1z' +\cdots+ a_{n-2r-1}z^{(n-2r-1)},\text{ wo }a_{n-2r- 1}\neq0. \] In der zweiten Note wird bemerkt, dass die Bedingung der erwähnten Invarianz der Form \(\varphi\) bereits von Halphen ausgesprochen ist, doch ohne die wesentliche Beschränkung hinzuzufügen, dass die Discriminante der Form von Null verschieden sei. Verf. zeigt nun, wie der Satz für den Fall auszudehnen ist, dass die Discriminante von \(\varphi\) verschwindet. Ist nämlich die Charakteristik der letzteren gleich \(m\), so dass also \(\varphi\) durch eine passende lineare Substitution in eine Form von \(m\) Variabeln übergeführt werden kann, so besteht der Satz: Ist eine quadratische Form \(\varphi\) für alle Substitutionen der Rationalitätsgruppe invariant, und ist \(r\) \((0\leqq r\leqq\frac12(n-1))\) der Rang von \(G=0\) in Bezug auf \(\varphi\), dann transformirt sich die adjungirte Gleichung durch eine rationale Substitution \(y = a_0z+a_1z'+\cdots+a_{n-2r-1}z^{(n-2r-1)}\) in einen rationalen Teiler der Gleichung \(G=0\) von der Ordnung der Charakteristik \(m\). Ein ähnlicher Satz wird abgeleitet für den Fall, dass die bilineare Form, welche für die Rationalitätsgruppe invariant bleibt, eine alternirende mit verschwindender Discriminante ist.

Citations:

JFM 30.0287.02
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