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Sur la formation explicite des équations différentielles du premier ordre dont l’intégrale générale est une fonction à un nombre fini de branches. (French) JFM 30.0295.01
Toulouse Ann. (2) 1, 239-329 (1899); auch sep. Thèse. Paris: Gauthier-Villars. 99 S. \(4^\circ\) (1899).
Im Anschluss an die von Painlevé in den Leçons sur la théorie analytique des éq. diff. (F. d. M. 28, 262, 1897,JFM 28.0262.01) gegebenen Methoden werden zunächst die Differentialgleichungen ersten Grades in \(y'\) \[ y^i = \frac{a_q(x)y^q + a_{q-1}(x)y^{q-1} +\cdots+ a_0}{y^{q-2} + b_{q- 3}(x)y^{q-3} +\cdots+ b_0} \] untersucht und die Gleichungen dieser Form vom gegebenen Grade \(q\) bestimmt, deren allgemeines Integral eine gegebene Zahl \(n\) von Werten um bewegliche kritische Punkte erlangt. Diese Bestimmung wird explicite für \(q=\) 3, 4, 5, 6, 7, 8; \(n=\) 2, 3, 4 ausgeführt. Darauf folgt die viel grössere Schwierigkeiten bietende Untersuchung der Differentialgleichungen vom zweiten Grade in \(y'\) mit der nämlichen Eigenschaft der Integrale, nur eine endliche Anzahl \(n\) von Werten um bewegliche kritische Punkte zu erhalten. Die Differentialgleichung sei \[ Ly'^2 - 2My' + N = 0,\tag{1} \] wo \(L\), \(M\), \(N\) Polynome in \(y\) von den Graden \(q_1\), \(q_2\), \(q_3\) seien und \(q\) die grösste der 3 Zahlen \(q_1+4\), \(q_2+2\), \(q_3\) sei. Das allgemeine Integral muss dann die Form haben: \(\alpha c^2-2\beta c+\gamma=0\), wo \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) Polynome in \(y\) vom Grade \(n\) mit von \(x\) abhängigen Coefficienten sind, wenn das Geschlecht \(w\) der Relation zwischen den Integralconstanten Null ist, und vom Grade \(2n\), wenn dieses Geschlecht gleich 1 ist (\(w>1\) kann hier nicht stattfinden). Das Fundamentaltheorem, zu dem Verf. gelangt, ist folgendes: Sind \(q\) und \(n\) gegeben \((4\leqq q\leqq4n)\), und bedeuten \(i\), \(j\), \(k\) drei positive Zahlen, die der Bedingung \(2i+j+k=2q-4\) und den Ungleichheiten \(j+k\geqq2\), \(3j+k\leqq2n\), \(k\geqq q-2n\) genügen, so entspricht jedem dieser Systeme von \(i\), \(j\), \(k\) eine unendliche Anzahl von Gleichungen (1), deren Integral genau \(n\) Werte um bewegliche kritische Punkte erhält. Diese Gleichungen hängen algebraisch von \(i+4\) willkürlichen Functionen und von \(2n+k-q-3\) oder \(k-q\) willkürlichen Constanten ab, je nachdem \(w=0\) oder 1 ist. Heben wir noch unter den Anwendungen hervor, dass die explicite Bestimmung der Gleichungen zweiten Grades in \(y'\) von der verlangten Beschaffenheit für \(n=2\) und \(q=\) 4, 5, 6, 7, 8, ferner der interessantesten Typen für \(n=3\) ausgeführt wird.
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