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Sur une équation différentielle linéaire du second ordre. (French) JFM 30.0302.02

In der Differentialgleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2} + \mu p(x)y = 0\tag{1} \] bezeichne \(p\) eine continuirliche periodische Function mit der Periode \(w\) und \(\mu\) einen Parameter, von dem \(p\) nicht abhängt. Der Charakter der Lösungen der Gleichung (1) hängt dann von einer Constante \(A\) ab, die durch die Formel \(A=\frac12\{f(w)+\varphi'(w)\}\) gegeben ist, wo \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) zwei Lösungen von (1) sind mit den Anfangsbedingungen: \(f(0)=1\), \(f'(0)=0\), \(\varphi(0)=0\), \(\varphi'(0)=1\), \(A\) ist eine ganze Function von \(\mu\): \[ A = 1 - A_1\mu + A_2\mu^2 - A_3\mu^3 +\cdots \] Verf. entwickelt nun für den Fall, dass \(p(x)\) eine reelle Function ist, die nie das Vorzeichen ändert, eine Reihe bemerkenswerter Sätze betreffs der Wurzeln \(\mu\) der Gleichung \(A^2-1=0\).

MSC:

34Cxx Qualitative theory for ordinary differential equations
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Full Text: Gallica