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Sulle equazioni differenziali lineari del \(5^\circ\) e del \(6^\circ\) ordine, le cui curve integrali sono contenute in una quadrica. (Italian) JFM 30.0307.02

Verf. betrachtet zunächst eine lineare homogene Differentialgleichung sechster Ordnung in \(z\), als Function von \(x\), zwischen deren Fundamentallösungen \(z_1\), ..., \(z_6\) eine homogene quadratische Relation mit constanten Coefficienten und nicht verschwindender Discriminante besteht. Für diese kann, unbeschadet der Allgemeinheit, die Form \[ f(z) = z_1z_2 + z_3z_4 + z_5z_6 = 0\tag{1} \] gewählt werden. Es wird noch vorausgesetzt, dass die Functionen \(z_i(x)\) nicht noch anderen homogenen quadratischen Lösungen mit constanten Coefficienten genügen. Der leitende Gesichtspunkt bei der Untersuchung ist dass die \(z_i\) wegen der Relation (1) als die Plücker’schen Coordinaten einer Geraden im gewöhnlichen Raume betrachtet werden, welche bei der Aenderung von \(x\) eine Regelfläche \(R\) beschreibt. Diese Fläche repräsentirt ein Integral der betrachteten Differentialgleichung, und die Substitutionen der Rationalitätsgruppe der Differentialgleichung, welche die Gleichung in sich transformiren, werden geometrisch durch die projectivischen Transformationen des Raumes repräsentirt. Das Resultat ist, dass die Integration einer Differentialgleichung von dieser Beschaffenheit mittels zweier successiven Ausziehungen von Quadratwurzeln stets auf die Integration einer linearen homogenen Differentialgleichung vierter Ordnung zurückgeführt werden kann. Die Integralcurve der letzteren ist der Ort der Berührungspunkte von \(R\) mit ihren vierpunktigen Tangenten. Der Fall einer linearen homogenen Differentialgleichung fünfter Ordnung, zwischen deren Lösungen eine quadratische Relation mit constanten Coefficienten besteht, wird auf den vorigen zurückgeführt, indem man zu den fünf unabhängigen Lösungen \(z_1\), \(z_2\), ..., \(z_5\) eine sechste Lösung \(z_6\) hinzunimmt, zwischen denen ausser der Relation (1) noch eine lineare homogene Gleichung mit constanten Coefficienten stattfindet. Die Regelfläche \(R\) befindet sich hier in einem linearen Complex, und die lineare Differentialgleichung vierter Ordnung, auf deren Integration auch hier die der gegebenen zurückgeführt wird, ist von der Beschaffenheit, dass sie eine Rationalitätsgruppe hat, deren Substitutionen sich geometrisch in homographische Transformationen des Raumes übertragen, die einen linearen Complex in sich selbst überführen.
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