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On certain equations analogous to differential equations. (Sur certaines équations analogues aux équations différentielles.) (French) JFM 30.0353.03

Verf. hat in einer früheren Arbeit (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 14, 133- 190; F. d. M. 28, 350-351, 1897, JFM 28.0350.02) den Begriff einer additiven eindeutigen, continuirlichen und regulären Transmutation \(\tau u(x)\) definirt und für dieselbe eine unendliche, nach den Ableitungen von \(u\) fortschreitende Reihe angegeben. In der vorliegenden Arbeit beschäftigt er sich mit Operationsgleichungen von der Form \[ p_0\tau^m u + p_1\tau^{m-1}u +\cdots+ p_{m-1}\tau u + p_mu = 0,\tag{1} \] worin \(\tau^ku\) die \(k\)-fache Iteration von \(\tau u\) bedeutet und die \(p_i\) gegebene Functionen der Veränderlichen \(x\) sind, während \(u\) die aus dieser Gleichung zu bestimmende unbekannte Function von \(x\) ist; diese Gleichungen sind den homogenen linearen Differentialgleichungen analog und gehen in dieselben über, wenn \(\tau u\) die Ableitung von \(u\) nach \(x\) wird. Der grösste Teil der Untersuchung ist dem Falle gewidmet, wo die \(p_i\) Constanten sind; dieser Fall lässt sich ganz wie bei den entsprechenden linearen Differentialgleichungen auf die Lösung einer Gleichung erster Ordnung \[ \tau(u) = ru\tag{2} \] zurückführen, worin \(r\) eine Wurzel der charakteristischen Gleichung \(p_0r^m+p_1r^{m-1}+\cdots+p_m=0\) ist: ist \(\psi(x,r)\) eine Lösung der Gleichung (2) und \(r\) eine \(p\)-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung, so sind die \(h\) Functionen \(\psi(x,r)\), \(\frac{\partial}{\partial r}\psi(x,r)\), ..., \(\frac{\partial^{h- 1}}{\partial r^{h-1}}\psi(x,r)\) \(h\) Lösungen der Gleichung (1), und die allgemeine Lösung von (1) setzt sich aus solchen mit den verschiedenen Wurzeln der charakteristischen Gleichung gebildeten Functionen linear zusammen; dabei ist zu bemerken, dass \(\psi(x,r)\) eine unendliche Anzahl willkürlicher Constanten enthalten kann. Die Gleichung (2) wird formell befriedigt durch die Reihe \[ \psi(x,r) = \sum_{-\infty}^{+\infty}a_i(x)r^i, \] wo \(a_0(x)\) eine reguläre Function von \(x\) und \(\tau a_i=a_{i-1}\) ist; vor allen Dingen gilt es, \(a_0\) so zu wählen, dass die zweifach unendliche Reihe convergirt. Diese Convergenzuntersuchung wird für den Fall vollständig durchgeführt, dass \(\tau\) eine Substitution, d. h. \(\tau u(x)=u[\varphi(x)]\) ist, wo \(\varphi(x)\) eine gegebene Function bedeutet, ein Fall, der bereits von Schröder, Koenigs und Grévy behandelt worden ist. Um für allgemeinere Gleichungen von der Form \[ f(\tau^m u,\tau^{m-1}u,\dots,\tau u,u,x) = 0\tag{3} \] eine Theorie der Existenz der Lösungen zu begründen, welche derjenigen der Differentialgleichungen analog ist, wendet Verf. zunächst eine Transformation an, welche ihm eine verallgemeinerte Taylor’sche Entwickelung der Function \(u\) ermöglicht und auch auf die Untersuchungen von Grévy und Leau neues Licht wirft, und kommt dann schliesslich durch Benutzung eines von Pincherle über die additiven Transmutationen gefundenen Satzes zu dem Resultat, dass die iterativen Functionalgleichungen die einzigen operativen Gleichungen von der Form (3) sind, deren Theorie auf die der gewöhnlichen Differentialgleichungen gegründet werden kann.

MSC:

39B05 General theory of functional equations and inequalities

Citations:

JFM 28.0350.02
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