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Nikolaj Iwanowitsch Lobatschefskij. Zwei geometrische Abhandlungen, aus dem Russischen übersetzt, mit Anmerkungen und mit einer Biographie des Verfassers. 1. Teil: Die Übersetzung. Mit einem Bildnis Lobatschefskijs und 194 Fig. 2. Teil: Anmerkungen, Lobatschefskijs Leben und Schriften. Register. 67 Fig. (German) JFM 30.0429.01

Leipzig: B. G. Teubner. 1. Teil: xvi, 235 S., 2. Teil: S. 236-476 (1898).
Das vorliegende Werk ist der erste Teil der von Engel und Stäckel herausgegebenen Urkunden zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie und umfasst in seinem ersten Teil die mit Anmerkungen versehene deutsche Übersetzung zweier seither nur in russischer Sprache verfassten Schriften Lobatschefskijs. Die erste: “Ueber die Anfangsgründe der Geometrie”, erschien 1829–1830 im Kasaner Boten und ist ein Auszug aus der verlorengegangenen, der physiko-mathematischen Abteilung der Universität Kasan 1826 vorgelegten Abhandlung: Exposition succincte des principes de la géométrie avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallèles. In der Abhandlung im Kasaner Boten giebt Lobatschefskij bereits die Principien seiner imaginären Geometrie und ihrer Anwendung auf die Messung von Winkeln, Bögen und Flächen, Oberflächen und Rauminhalten. Die ausschlaggebenden Gleichungen für das nichteuklidische Dreieck sind: \[ \begin{aligned} &\tan F(a)\sin A = \tan F(b)\sin B,\\ &\cos A\cos F(b)\cos F(c) + \frac{\sin F(b)\sin F(c)}{\sin F(a)} - 1 = 0,\\ &\cos A\sin B\sin F(c) + \cos B - \frac{\cos F(c)}{\cos F(a)} = 0,\\ &\cos C + \cos A\cos B - \frac{\sin A\sin B}{\sin F(c)} = 0,\end{aligned} \] wo \(A\), \(B\), \(C\) die Winkel und \(a\), \(b\), \(c\) die Seiten des Dreiecks sind, \(F(\alpha)\) der sogenannte Parallelwinkel ist, d. h. der Winkel, welchen eine zu einer Geraden im Abstand \(\alpha\) gezogene Parallele mit dem Lot auf ersterer bildet. Lobatschefskij findet auch bereits, dass \(\tan\frac12F(\alpha)=e^{-a}\), und bemerkt zum Schluss, dass die obigen Formeln für rein imaginäre Werte der Seiten in diejenigen der sphärischen Trigonometrie übergehen. Im übrigen nimmt Lobatschefskij die Ebene als unendlich an, wodurch für die Winkelsumme des Dreiecks Werte \(>\pi\) ausgeschlossen sind.
Die zweite übersetzte Abhandlung hat den Titel: “Neue Anfangsgründe der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der Parallelen” und erschien 1835-1836 in den Kasaner gelehrten Schriften. (Eine französische Uebersetzung derselben Schrift hat seither M. F. Mallieux in Liége Mem. (3) 2, Nr. 5, 1900, zu publiciren begonnen.) In den ersten Kapiteln dieser ausführlicheren und für das Studium geeigneteren Schrift definirt Lobatschefskij den Körper durch seine Eigenschaft, andere Körper zu berühren, und unterscheidet verschiedene Schnitte der Körper, wodurch er zum Begriff von Fläche, Linie und Punkt gelangt. Der einfachste Körper ist die Kugel; mit ihrer Hülfe wird die Ebene definirt, ebenso der Kreis und die Gerade. Weiter wird die Messung von Strecken und von Winkeln zwischen Geraden und Ebenen gelehrt. Es folgt die Lehre von den senkrechten Geraden und Ebenen, den Vielkanten und regulären Polyedern; hierauf wird die Congruenz der Dreiecke auseinander gesetzt. Bis hierher zeigt sich kein Unterschied gegen die euklidische Geometrie; aber nun werden die zu einer Geraden durch einen Punkt gelegten Parallelen eingeführt; die Winkelsumme im Dreieck ist \(<\pi\), und das Quadrat der Hypotenuse ist grösser als die Quadratsumme der Katheten. Die Grenzlinie ist die Curve, der sich der Kreis mit unendlich wachsendem Halbmesser nähert; durch Drehung derselben um eine Axe entsteht die Grenzfläche. Nach einem Excurs auf die trigonometrischen Functionen wird die Abhängigkeit des Parallelwinkels vom zugehörigen Lote nachgewiesen und werden die bereits oben erwähnten Gleichungen der imaginären Geometrie abgeleitet. Der zweite Teil enthält zunächst sprachliche und sachliche Anmerkungen zu den vorstehenden Uebersetzungen. Aus denselben geht unter anderem hervor, dass Lobatschefskij den Zusammenhang seines Parallelwinkels mit Gudermann’s cyklisch-hyperbolischen Functionen wohl kannte. Bemerkenswert ist in den “Anfangsgründen” Lobatschefskijs Vorschlag, die Genauigkeit der euklidischen Geometrie durch astronomische Messungen zu prüfen. Am Schlusse der Anfangsgründe deutet Lobatschefskij die Änderungen an, welche die Gültigkeit seiner Geometrie in der Mechanik erfordern würde (z. B. die Ungültigkeit des Trägheitsgesetzes), wobei Engel auf das Buch von Andrade (Leçons de mécanique physique. Paris, 1898) verweist.
Es folgt eine Zusammenstellung wichtiger Formeln der imaginären Geometrie und sodann die Lebensbeschreibung Lobatschefskij’s (1793–1856). Hier ist merkwürdig die Notiz über ein ungedrucktes Lehrbuch der Geometrie von 1823, in welchem die seitherigen Beweise des Parallelenaxioms als verfehlt anerkannt sind, wogegen sich von der späteren Lösung der Frage noch keine Spur findet. Wichtig ist das Kapitel über die Entdecker der nichteuklidischen Geometrie. Hier wird die Unabhängigkeit Lobatschefskijs von Gauss nachgewiesen und ausser Saccheri und Lambert noch auf weitere Vorläufer aufmerksam gemacht: Schweikart, der eine Geometrie (Astralgeometrie), in der die Winkelsumme \(<\pi\) ist, erkannte, ohne etwas zu veröffentlichen, und Taurinus, der in seinen “Geometriae prima elementa 1826” durch Einführung imaginärer Werte für die Seiten sphärischer Dreiecke auf die Geometrie Lobatschefskijs (Logarithmisch-sphärische Geometrie) kam, aber doch nur die euklidische als eine ebene gelten lassen wollte.
Die Arbeiten Lobatschefskijs, dessen Stil als schwerfällig und stellenweise dunkel bezeichnet werden muss, fanden übrigens zu seinen Lebzeiten keinen Anklang und wurden erst beachtet, als der Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher 1860 herauskam. Den Schluss bildet ein Verzeichnis sämtlicher Arbeiten Lobatschefskijs, welche, soweit sie die Geometrie betreffen, in einer Gesamtausgabe (Kasan 1883–1886) erschienen sind. Ein Sachregister erleichtert die Orientirung über einzelne Gegenstände.

MSC:

01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics
01A55 History of mathematics in the 19th century
51-03 History of geometry

Biographic References:

Lobachevskiĭ, Nikolaĭ Ivanovich
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