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Un teorema sulle varietà algebriche a tre dimensioni con infinite trasformazioni projettive in sè. (Italian) JFM 30.0558.04

Nach Enriques (F. d. M. 25, 1179, 1893, JFM 25.1179.02) ist jede algebraische Curve, die eine continuirliche Gruppe von \(\infty^1\) projectiven Transformationen in sich zulässt, rational. Fano (F. d. M. 26, 727, 1895, JFM 26.0727.03) hat diesen Satz auf algebraische Flächen ausgedehnt: eine solche, die eine continuirliche transitive Gruppe von \(\geq\infty^2\) Projectivitäten erlaubt, ist rational.
In vorliegender Note wird der Satz in der letzteren Form abermals, nämlich auf eine dreidimensionale algebraische Mannigfaltigkeit \(F\) übertragen (nur dass es dann \(\infty^3\) solcher Projectivitäten giebt oder mehr). Der Beweis stützt sich darauf; dass jede \(F\) rational ist, die eine rationale Congruenz erster Ordnung rationaler Curven besitzt, welche alle von einer und derselben Fläche getroffen werden.
Der Beweis fällt verschieden aus, je nachdem die Gruppe integrabel ist oder nicht. Im letzteren, schwierigeren Falle kommt die Frage zurück auf den bekannten Satz, dass eine Fläche mit einer \(\infty^1\) Schar rationaler Curven selbst rational ist.
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