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Zur Theorie der endlichen Gruppen von birationalen Transformationen in der Ebene. (German) JFM 30.0600.01

Verf. hatte bemerkt, dass die von S. Kantor gegebene Aufzählung sämtlicher Typen von vollständigen endlichen Gruppen birationaler Transformationen in der Ebene in mancher Hinsicht unrichtig war. Er will hier die fraglichen Gruppen in möglichst einfacher Weise herleiten und dabei die angedeuteten Fehler beseitigen. Doch rühren die Grundgedanken der dabei angewandten Methode von Kantor her. Aus der Invarianz der successiven Systeme von adjungirten Curven einer ursprünglichen invarianten Curve und der hieraus zu ziehenden Folgerung von einem invarianten linearen Systeme von rationalen oder elliptischen Curven war es nämlich Kantor gelungen, die Gruppen auf neun typische Hauptklassen zu reduciren:
1) Collineationsgruppen.
2) Gruppen von “orthanallagmatischen” Transformationen, welche einen Geradenbüschel invariant lassen. Verf. weist nach, dass bei den Gruppen dieser Klasse, welche nicht auch durch 1 und 3 geliefert werden, immer eine invariante Curve existirt, welche mit den Geraden des invarianten Büschels nur je zwei bewegliche Schnittpunkte besitzt.
3) Gruppen, welche aus den Collineationsgruppen einer \(F_2\) in sich durch eindeutige Abbildung der Fläche auf eine Ebene erhalten werden.
4-8) Gruppen, welche ein System von \(C_3\) mit 3 bis 7 festen Punkten invariant lassen. Verf. reducirt die Klasse 6 auf Collineationsgruppen im \(R_4\), indem die Ebene eindeutig auf das durch zwei quadratische Relationen zwischen fünf homogenen Veränderlichen definirte Gebilde transformirt wird. Die Gruppen der Klasse 7 erhält man nach Kantor aus den Collineationsgruppen einer \(F_3\) in sich; die Bestimmung dieser Gruppen vereinfacht Verf. durch Bezugnahme auf das fundamentale Pentaeder, und es wird durch ein besonderes Verfahren nachgewiesen, dass die Aufzählung der bezüglichen Typen erschöpfend ist.
9) Gruppen mit invariantem \(C_3\)-Büschel und überdies invariantem Systeme von \(C_6\) mit Doppelpunkten in acht von den neun Basispunkten des Büschels. Bei den Klassen 8 und 9 kann man nach Kantor die Ebene als das Bild einer doppelten Ebene mit einer \(C_4\), bezüglich eines doppelten Kegels zweiten Grades mit einer \(C_6\) als Uebergangscurve betrachten, so dass man in beiden Fällen durch Combination der Vertauschung der beiden Blätter mit der Collineationsgruppe der Uebergangscurve in sich die in der einfachen Ebene zu bestimmenden Gruppen herleiten kann. Hier benutzt Verf. seine früheren Untersuchungen über Gruppen von eindeutigen Transformationen einer algebraischen Curve in sich.
Reviewer: Verf.

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References:

[1] ?Premiers fondaments pour une théorie des transformations périodiques univoques?, Nâples 1891. Ein Auszug ist im Journal für Mathematik, Bd. 114, S. 50 erschienen unter dem Titel: ?Theorie der eindeutigen periodischen Transformationen in der Ebene?.
[2] ?Neue Theorie der eindeutigen periodischen Transformationen in der Ebene?, Acta Mathematica, Bd. 19, S. 115. · JFM 26.0769.04
[3] ?Theorie der endlichen Gruppen von eindeutigen Transformationen in der Ebene? (Berlin, Mayer & Müller, 1895). · JFM 26.0770.03
[4] Man sehe S. 40 der letzterwähnten Arbeit.
[5] S. 41 der citirten Arbeit.
[6] Acta Mathematica, Bd. 19, S. 119.
[7] Rendiconti Ist. Lomb. 1886.
[8] Vergl. G. Jung, ?Ricerche sui sistemi lincari di curve algebriche?, Annali di Matematica XVI.
[9] Auch Hr. Kantor kennt nur die von Hrn. Jordan bahandelten Gruppen. Man sehe seine ?Theorie der endlichen Gruppen?, S. 44.
[10] Man sehe meinen in den Mathematischen Annalen Bd. 47 veröffentlichten Aufsatz mit dem Titel ?Ueber eine einfache Gruppe von 360 ebenen Collineationen?.
[11] Man sehe Kantor, ?Theorie der endlichen Gruppen?, S. 46.
[12] Man sehe ?Vorlesungen über das Ikosaeder?, S. 64.
[13] Man vergleiche Kantor ?Theorie der endlichen Gruppen?, S. 46.
[14] Die obigen Resultate bezüglich der GruppenM 2,M 2?,M 3 undM 4 sind schon von Hrn. Kantor gegeben. Indess ist der Gegenstand dieses Paragraphen auch von Hrn. Autonne behandelt. Hr. Kantor hat das Verhältniss seiner Theorie zu den von diesem Forscher publicirten Noten in seiner ?Theorie der endlichen Gruppen?, S. 52 besprochen.
[15] Hr. Kantor hat (S. 52 und 105 seiner citirten Arbeit) für die Ordnungen der betreffenden Gruppen die unrichtigen Zahlen: 15, 30, 60, 90, 150, gegeben.
[16] Math. Ann. Bd. 13, S. 35.
[17] Math. Ann. Bd. 16. Man vergleiche hierzu meine Schrift, ?Ueber die algebraischen Curven von den Geschlechternp=4, 5 und 6, welche eindeutige Transformationen in sich besitzen?, Anh. d. Abh. der Königl. Schw. Akad. der Wissenschaften, Bd, 21, Abth. I, Nr. 3.
[18] ?Theorie der endlichen Gruppen?, S. 68.
[19] Acta Mathematica Bd. 19, S. 148 oder die oben citirte Arbeit, S. 94.
[20] ?Theorie der endlichen Gruppen?, S. 65.
[21] Man sehe seine ?Theorie der endlichen Gruppen?, S. 55, Theorem VII und S. 70, Theorem LIV.
[22] Man sehe die citirte Arbeit S. 68, Theorem XLIX und S. 70, Theorem LV.
[23] ?Theorie der endlichen Gruppen?, S. 79.
[24] Vgl. Kantor, Acta Mathematica XIX, S. 182.
[25] Die hier besprochene rational eindeutige Abbildung einer Doppelebene auf eine einfache Ebene mit einer Uebergangscurve, welche durch Cremona-Transformationen auf eineC 4 des Geschlechtesp=3 gebracht werden kann, ist zuerst von Clebsch (Math. Annalen Bd. III), später von de Paolis und anderen behandelt worden.
[26] Dieselbe wurde von Hrn. Kantor gegeben, Acta Math. XIX, S. 157.
[27] ?Th. d. endl. Gruppen?. S. 82.
[28] ?Ueber die hyperelliptischen Curven und diejenigen vom Geschlechte p=3, welche eindeutige Transformationen in sich zulassen.? Anh. d. Abh. d. Königl. Schw. Akad. d. Wissensch., Bd. 21, Abth. I, Nr. 1 (1895). · JFM 26.0658.02
[29] Math. Ann. Bd. XXXII.
[30] a. a. O., Math. Ann. Bd. XXXII. S. 88, Theorem CI und Theorem CII: 12, 13.
[31] S. 91 der citirten Arbeit.
[32] Man sehe Noether, ?Ueber die ein-zweideutigen Ebenentransformationen?, Sitzungsber. der physik. medic. Soc. zu Erlangen 1878, sowie ?Ueber eine Classe von auf die einfache Ebene abbildbaren Doppelebenen? und ?Ueber die rationalen Flächen vierter Ordnung?, Math. Ann. XXXIII, und Schottky, ?Ueber specielle Abel’sche Functionen vierten Ranges?, Journal für Mathematik CIII.
[33] Man vergleiche hierzu Hrn. Kantor’s Erörterungen über die Büschel vonC 3, Acta Math. XIX, S. 183.
[34] Man vergleiche eine Abhandlung von G. H. Halphen, ?Recherches sur les courbes planes du troisième degré?, Math. Ann. XV.
[35] ?Theorie der endlichen Gruppen?, S. 100. Wir bemerken nur, dass die dort gegebenen Gruppen 9 und 10 identisch sind.
[36] ?Ueber die algebraischen Curven von den Geschlechtern p=4, 5 und 6, welche eindeutige Transformationen in sich besitzen?, S. 25, Anhang d. Abh. d. Königl. Schw. Acad. d. Wissenschaften, Bd. 21, Abth. I, Nr. 3. · JFM 26.0658.03
[37] Math. Ann. XXX. · JFM 20.0714.02
[38] Hr. Kantor giebt keine eigentliche Aufzählung der Collineationsgruppen der Normalcurve; betreffend diejenige der Gruppen mit 8 Punkten sehe man S. 102 de citirten Arbeit.
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