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Sur l’équilibre des systèmes articulés. (French) JFM 30.0625.03

Im ersten Abschnitte wird ein Theorem von Maurice Lévy (Statique graphique, \(2^{\text{e}}\) éd., 4, 261) wie folgt verallgemeinert: “Es sei \(\varphi(s_1,s_2,\dots)\) eine lineare und homogene Function der Variabeln \(s\), die der einzigen Bedingung unterliegt, lauter positive Coefficienten zu haben. Wenn ein Fachwerk \(\Sigma\) mit überschüssigen Linien gegeben ist, das sein eigenes Gewicht und gegebene Kräfte \(F\) aushält, so ist es immer möglich, ein schlechtweg nicht deformirbares System \(\Sigma'\) zu finden, welches dieselben Knoten wie \(\Sigma\) hat, ebenfalls sein eigenes Gewicht und die Kräfte \(F\) aushält, und für welches die mit den Querschnitten der Stäbe gebildete Function \(\varphi\) einen höchstens ebenso grossen (im allgemeinen kleineren) Wert hat, als \(\varphi(s)\) für das System \(\Sigma\) besitzt. Wenn das System \(\Sigma\) eins von gleichem Widerstande ist, so kann man ein den vorgenannten Bedingungen genügendes System finden, das ebenfalls von gleichem Widerstande ist”. Als ein allgemeines Resultat ergiebt sich daher: “Wie man auch ein Fachwerk mit überschüssigen Linien construiren mag, so giebt es immer ein Fachwerk ohne überschüssige Linien, das dieselben Knoten besitzt, denselben Verbindungen unterliegt, sein eigenes Gewicht und die äusseren gegebenen Kräfte aushält, und das wenigstens ebenso ökonomisch ist wie das erste.”
Der zweite Abschnitt handelt von den Existenzbedingungen der Fachwerke. Von den erlangten Ergebnissen führen wir folgende an: “Wenn man ein Fachwerk sich selbst ähnlich derart vergrössert, dass die Natur seiner Verbindungen gewahrt bleibt, so tritt ein Augenblick ein, von dem an das System unmöglich wird.” “Ein nicht ebenes System mit \(n\) Knoten, von denen \(p\) fest sind, \(q\) auf Curven, \(r\) auf Oberflächen verschiebbar sind, welches überschüssige Linien hat oder auch nicht, ist sicher unmöglich; wenn es Knoten hat, die ausserhalb aller Kugeln liegen, welche die Stützpunkte als Mittelpunkte haben, ferner als gemeinschaftlichen Radius: \(2[3n-(3p+2q+r)]^2\varphi\). Wenn dies Fachwerk ein ebenes ist, werden die Kugeln durch Kreise mit dem gemeinschaftlichen Radius \(2[2n- (2p+q)]^2\varphi\) ersetzt.
Im dritten Abschnitte beschäftigt sich der Verf. mit der Aufgabe: “Alle schlechthin nicht deformirbaren ebenen Fachwerke derart zu finden, dass man bei beliebiger Beschaffenheit der in seinen Knoten angebrachten, im Gleichgewicht befindlichen Kräfte schrittweise alle seine Spannungen durch blosse Construction der Kräftepolygone bestimmen kann, ohne dass man je zweimal dasselbe Segment construirt.” Als allgemeinste Fachwerke dieser Art ergeben sich die einfach dreiecksartig verzweigten.
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Full Text: DOI Numdam EuDML