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Sur l’attraction des ellipsoïdes homogènes. (French) JFM 30.0696.01

Man kann dem MacLaurin’schen Satze über die Anziehung homogener Ellipsoide, falls man statt der Anziehungscomponenten das Potential betrachtet, nach Cauchy (C. R. 39, 341) folgende Form geben: Bezeichnet \(r\) den Abstand eines inneren Ellipsoidpunktes von einem festen äusseren Punkte, so ist der mittlere Wert von \(\frac1r\) im Innern des Ellipsoids der gleiche für alle confocalen Ellipsoide.
Zum Beweise entwickle man \(\frac1r\) in die Reihe \[ \frac1r = \frac1{\varrho} + \frac{V_1}{\varrho^2} + \frac{V_2}{\varrho^3} +\cdots+ \frac{V_n}{\varrho^{n+1}} +\cdots, \] wo \(\varrho\) die Entfernung des äusseren Punktes vom Mittelpunkte des Ellipsoids bezeichnet. Bildet man dann den mittleren Wert \(\mathfrak M_n\) von \(V_n\) und beachtet, dass \(V_n\) eine ganze homogene Function der Coordinaten \(x\), \(y\), \(z\) eines inneren Ellipsoidspunktes ist und der Gleichung \(\Delta V=0\) genügt, so lässt sich zeigen, dass \(\mathfrak M_n\) der Gleichung \[ \frac{\partial\mathfrak M_n}{\partial a^2} + \frac{\partial\mathfrak M_n}{\partial b^2} + \frac{\partial\mathfrak M_n}{\partial c^2} = 0 \] genügt, wo \(a\), \(b\), \(c\) die Halbaxen des Ellipsoids sind d. h. dass \(\mathfrak M_n\) nur von \(b^2-c^2\), \(c^2-a^2\), \(a^2-b^2\) abhängen kann. Das Gleiche gilt mithin für \(\frac1r\).
Der Anfang der Arbeit enthält einen historischen Irrtum; der Verf. schreibt MacLaurin den Beweis des nach ihm benannten Satzes zu, was bekanntlich unrichtig ist.
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Full Text: DOI Numdam EuDML