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Formule pour le calcul rapide d’un certain potentiel. (French) JFM 30.0702.02
Der Verf. ersetzt eine von Appell aufgestellte Reihe (vergl. F. d. M. 19, 418, 1887, JFM 19.0418.01; es handelt sich um die Entwickelung der dort mit \(\theta_1(x,y,z;a)\) bezeichneten Function) durch eine andere, deren Coefficienten einfache, elementare Functionen statt bestimmter Integrale enthalten, und die dabei schnell convergirt. Den Ausgangspunkt bildet eine vom Verf. früher (vergl. F. d. M. 21, 236, 1889, JFM 21.0236.02) aufgestellte Formel, welche die Darstellung des Ausdrucks \[ \sum_{m=-\infty}^{+\infty}\frac1{[u+(w+m)^2]^s} \] durch eine trigonometrische Reihe betrifft. Daraus ergeben sieh zwei verschiedene Reihen für den Ausdruck \[ \sum_{m=-\infty}^{+\infty}\sum_{n=- \infty}^{+\infty}\frac1{[u+a(v+m)^2+b(w+n)^2]^s}, \] und aus der Gleichsetzung beider Reihen folgt die Entwickelung von \[ \frac1{\sqrt{ab}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left\{\frac{\sqrt a}{[u+a(v+n)^2]^{s-\frac12}} - \frac{\sqrt b}{[u+b(w+n)^2]^{s- \frac12}}\right\} \] in eine trigonometrische Reihe, deren Coefficienten zunächst wieder unendliche Reiben sind, die sich aber summiren lassen. Die so erhaltene Formel gilt zunächst für \(s>1\). Der Uebergang zu dem Grenzfall \(s=1\) liefert endlich das folgende Resultat. Setzt man \[ \lim_{n=\infty}\left(\sum_{\nu=-n}^{+n}\frac1{\sqrt{(w+\nu)^2+u}} - 2\log n\right) = \psi(w,u), \] so ist \[ \psi(v,u) - \psi(w,u) \]
\[ \begin{aligned} &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac1{\sqrt{(w+n)^2+u}} \frac{\cos2v\pi-e^{-2\pi\sqrt{(w+n)^2+u}}}{\cosh[2\pi\sqrt{(w+n)^2+u}] - \cos2v\pi}\\ &- \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac1{\sqrt{(v+n)^2+u}} \frac{\cos2w\pi-e^{- 2\pi\sqrt{(v+n)^2+u}}}{\cosh[2\pi\sqrt{(v+n)^2+u}] - \cos2w\pi}.\end{aligned} \] Integrirt man noch \(w\) zwischen den Grenzen 0 und 1, so erhält man ferner: \[ \psi(v,u) = \log\frac4u + 2\int_{\sqrt u}^\infty \frac{\cos2v\pi-e^{-2\pi x}}{\cosh2\pi x-\cos2v\pi}\frac{dx}{\sqrt{x^2-u}}. \] Zum Schluss werden noch zwei weitere Formeln ohne Beweis mitgeteilt.

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Full Text: EuDML