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Sur une extension du calcul des substitutions linéaires. (French) JFM 31.0132.01
Der Verf. giebt in der vorliegenden Arbeit eine durchgeführte, eingehende Untersuchung derjenigen zwei Verbindungen zweier bilinearen Formen, die er “conjonction” und “composition bialternée” nennt. Da über den Bericht, den Stéphanos von seinen Resultaten in den C. R. (1899) gegeben hat, bereits referirt wurde (F. d. M. 30, 121, 1899, JFM 30.0121.01), so sei nur Folgendes zur Ergänzung angegeben: Mittelpunkt der Untersuchung bei der aus zwei bilinearen Formen \(A\) und \(B\) durch conjonction gewonnenen bilinearen Form \(A\times B\) ist die Untersuchung der Wurzeln der charakteristischen Gleichung von \(A\times B\) und des Productes zweier bilinearen Formen, die beide durch conjonction entstehen. (Bezeichnung nach Frobenius J. für Math. 84, wie in Muth’s Theorie der Elementarteiler). Analoge Untersuchungen für die durch composition bialternée entstehende bilineare Form. Die conjonction ist verwandt mit der sogenannten Kronecker’schen Composition zweier Determinanten (vergl. Encyklopädie, 1, 40). Die composition bialternée steht mit der Theorie der adjungirten Formen einer bilinearen Form in enger Beziehung (vergl. Encyklopädie, 1, 594). Die angegebenen Operationen werden auch für mehrere Formen erweitert und gemischt angewandt. Diese Untersuchungen führen feiner zur Auffindung aller linearen Substitutionen zwischen \(mn\) Grössen \[ X_{ik}\,(i = 1,2,\dots,m;\,k = 1,2,\dots,n) \] eines Tableaus von \(m\) Zeilen und \(n\) Colonnen, welche lineare Substitutionen zwischen den Minoren derselben Ordnung dieses Tableaus ergeben. Der Verf. weist auch auf den engen Zusammenhang seiner Untersuchungen mit denjenigen von Hurwitz in dem Aufsatz “Zur Invariantentheorie” (Math. Ann. 45, 381, § 6 und § 8, Producttransformationen, Determinantentransformationen) hin; Ref. möchte noch auf Frobenius (Berl. Ber. 1899, 330; F. d. M. 30, 130, 1899, JFM 30.0130.01) verweisen.

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Full Text: EuDML