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Definition of the Abelian, the two hypoabelian, and related linear groups as quotient groups of the groups of isomorphisms of certain elementary groups. (English) JFM 31.0138.03

Es seien \(\Theta\), \(A_i\), \(B_i\) \((i=1,2,\dots,m)\) Operationen der Periode \(p\) (\(p\) Primzahl) und bis auf die Operationen \(A_i\), \(B_i\), welche den Relationen \[ A_iB_i = \Theta B_iA_i\qquad (i=1,2,\dots,m) \] genügen, unter einander vertauschbar. Verf. untersucht die Isomorphismengruppe der von den angegebenen Operationen erzeugten Gruppe \(\mathfrak F\). Die Isomorphismengruppe \(J\) von \(\mathfrak F\) besitzt eine invariante Untergruppe der Ordnung \(p^{2m}\). Die durch diese Untergruppe \(J_1\) definirte Quotientengruppe \(J/J_1\) ist, wie Verf. beweist, für \(p>2\) mit der allgemeinen Abelschen Gruppe [C. Jordan, Traité des substitutions. Paris: Gauthier-Villars (1870; JFM 03.0042.02), 171] und für \(p=2\) mit der ersten hypoabelschen Gruppe (C. Jordan, ebenda, 199) holoedrisch isomorph; die Coefficienten der Substitutionen beider Gruppen, die sich auf \(2m\) Variabeln beziehen, sind mod \(p\) zu nehmen. Dickson betrachtet noch drei weitere abstracte Gruppen, deren Isomorphismengruppen zu ähnlichen Resultaten führen; auf diese Art lässt sich im besonderen auch die zweite hypoabelsche Gruppe (C. Jordan, a. a. O., 206) definiren.

MSC:

20K01 Finite abelian groups

Citations:

JFM 03.0042.02
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