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Isomorphism between certain systems of simple linear groups. (English) JFM 31.0139.01

In dem Artikel, über welchen in [JFM 30.0143.01], referirt ist, hatte der Verf. die Vermutung geäussert, dass die einfache quaternäre hyperorthogonale Gruppe \(\mathrm{HO}(4,p^{2n})\) in dem \(\mathrm{GF}[p^{2n}]\) isomorph sei mit der zweiten hypoabelschen Gruppe \(\mathrm{SH}(6,2^n)\), der orthogonalen Gruppe \(O(6,p^n)\), oder der Gruppe \(\mathrm{NS}(6,p^n)\), je nachdem \(p^n\) von der Form \(2^n\), \(4l-1\), \(4l+1\) bezw. ist. Für den Fall \(p^n=2\) und für den anderen \(p^n=3\) wurde die Vermutung bestätigt durch die Aufstellung abstracter Gruppen, die mit den fraglichen linearen Gruppen holoedrisch isomorph sind. Die Rechnungen waren mit Notwendigkeit lang; daher dürfte dieses Verfahren kaum für den Fall des allgemeinen \(p^n\) sich eignen.
Durch die Correspondenz der in diesen beiden Fällen auftretenden Erzeugenden ist nun der Verf. zu dem im vorliegenden Aufsatze geführten Beweise für den allgemeinen Fall hingeleitet worden. Der Beweis beruht auf der Theorie der zweiten Componirten einer linearen homogenen Gruppe, die der Verf. in [Bull. Am. Math. Soc. (2) 5, 120–135 (1898; JFM 29.0119.02)] und in [Trans. Am. Math. Soc. 1, 91–96 (1900; JFM 31.0138.04)] (vgl. den vorangehenden Bericht), entwickelt hat. Anstatt der hyperorthogonalen Gruppe \(\mathrm{HO}(4,p^{2n})\) benutzt er die holoedrisch isomorphe hyperabelsche Gruppe \(\mathrm{HA}(4,p^{2n})\), die als Untergruppe die einfache Abelsche Gruppe \(\mathrm{A}(4,p^n)\) enthält.
Die Rechnungen zeichnen sich durch grosse Eleganz aus.

MSC:

20Dxx Abstract finite groups
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