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Proof of the non-isomorphism of the simple Abelian group on \(2m\) indices and the orthogonal group on \(2m+1\) indices for \(m>2\). (English) JFM 31.0142.01

Bisher waren nur zwei einfache Gruppen der gleichen Ordnung \(8!/2\), die nicht isomorph sind, bekannt. (Vergl. das vorangehende Referat und das über Miss Schottenfels unten S. 143, siehe JFM 31.0141.01 und JFM 31.0143.03). Verf. weist in der vorliegenden Arbeit den Nichtisomorphismus für zwei dreifach unendliche Systeme von einfachen Gruppen gleicher Ordnung nach. Aus der Abel’schen Gruppe in \(2m\) Variabeln im Galois’schen Felde \(GF[p^n]\) ergiebt sich für \(p>2\) eine einfache Gruppe \(A(2m, p^n)\) der Ordnung: \[ \frac12(p^{n(2m)} - 1)p^{n(2m-1)}(p^{n(2m-2)} - 1)p^{n(2m-3)}\cdots(p^{2n} - 1)p^n. \] (Dickson: Quart. J. 29; F. d. M. 28, 136, 1897, JFM 28.0136.01). Ebenso führt die Betrachtung der orthogonalen Gruppe in \(2m+1\) Variabeln im \(GF[p^n]\) für \(p>2\) ausser im Falle \(p^n=3\), \(m=1\) zu einer einfachen Gruppe \(O(2m+1, p^n)\) der nämlichen Ordnung wie \(A(2m, p^n)\). Diese zwei einfachen Gruppen sind nicht isomorph, wenn \(m>2\) ist; die zwei Gruppen \(A(2m,p^n)\) und \(O(2m+1,p^n)\) stimmen nämlich nicht, wie Verf. zeigt, in den Operationen der Ordnung 2 überein. Hingegen sind die Gruppen \(A(2,p^n)\) und \(O(3,p^n)\), wie Dickson schon im American J. 21 (1899) bewiesen hat, isomorph. Ebenso sind die zwei Gruppen, \(A(4,p^n)\) und \(O(5,p^n)\) isomorph (vergl. oben S. 139, JFM 31.0138.04). Die besprochenen Untersuchungen sind inzwischen in Dickson’s Werk “Linear groups” etc. (Leipzig: Teubner. 1901), S. 105 u. S. 309 übergegangen.

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