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Ueber die Anzahl der wesentlichen Veränderlichen in einer \(r\)-gliedrigen continuirlichen Gruppe von Punkttransformationen. (German) JFM 31.0152.02
Da jede dreigliedrige Gruppe von Punkttransformationen bei geeigneter Wahl der Veränderlichen auf eine Gruppe in höchstens vier Veränderlichen zurückführbar ist, so hat sich der Verf. die Frage vorgelegt, ob überhaupt zu jedem \(r\) eine bestimmte Zahl \(n\) angebbar ist derart, dass jede \(r\)-gliedrige Gruppe bei geeigneter Wahl der Veränderlichen auf eine Gruppe in höchstens \(n\) Veränderlichen zurückgeführt werden kann. Er zeigt hier aber nur, dass diese Zahl \(n\) für ungerades \(r\) nicht kleiner sein kann als \(\frac14(r+1)^2\) und für gerades \(r\) nicht kleiner als \(\frac14r(2r+1)\). Er construirt zu diesem Zwecke eine \(r\)-gliedrige Gruppe von der Form: \[ \frac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_\varrho},\quad \sum_{i=1}^\varrho w_{k\varrho+i} \frac{\partial f}{\partial x_i}\qquad (k = 0,1,\dots,r-\varrho-1) \] mit den \(n=\varrho(r+1-\varrho)\) Veränderlichen \(x_i\) und \(w_{k\varrho+i}\), und er zeigt, dass es hier nicht möglich ist, durch Einführung neuer Veränderlichen die Zahl der wirklich auftretenden Veränderlichen zu verringern. Die vorhin mitgeteilten unteren Grenzen für \(n\) ergeben sich hieraus, wenn man \(\varrho\) so wählt, dass \(n\) möglichst gross ausfällt.
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References:
[1] ?Ueber simultane gewöhnliche Differrentialgleichungen, welche continuirliche Transformationsgruppen gestatten, § 9?, Monatsh. f. Math. u. Phys. Bd. XI. · JFM 31.0357.01
[2] Hierbei wird der Begriff der Aehnlichkeit in dem etwas weitern Sinn gefasst, den Lie und Engel in der ?Theorie der Transformationsgr.? I. am Ende des §92 erwähnen.
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