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On an arithmetic property of the logarithms of algebraic numbers. (Sur une propriété arithmétique des logarithmes des nombres algébriques.) (French) JFM 31.0206.02

Jede irrationale positive Zahl \(\alpha\) lässt sich bekanntlich auf eine Weise in einen unendlichen Kettenbruch \[ a_0 + \cfrac{1}{ a_1 + \cfrac{ 1}{ a_2 + \ddots \cfrac{ 1}{ a_n +\cdots }}}\tag{1} \] entwickeln, wo die \(a_n\) positive ganze Zahlen sind und \(a_0\) auch Null sein kann. \(P_n/Q_n\) sei der \(n\)-te Näherungsbruch. Dann genügt nach Liouville (Journ. de Math. (1) 16, 1851), wenn \(\alpha\) eine algebraische Zahl \(r\)-ten Grades ist, \(a_n\) der Ungleichheitsbedingung \[ a_n < MQ_n^{r-2}, \] wo \(M\) eine von \(n\) unabhängige Zahl ist. Mit Hülfe dieses Satzes hatte Liouville den ersten Nachweis der Existenz transcendenter Zahlen geliefert.
Verf. stellt sich die Aufgabe, eine analoge notwendige Bedingung für die irrationalen Zahlen der Form \[ \alpha = \frac{\log A}{\log B} \] aufzustellen, wo \(A\), \(B\) algebraische positive Zahlen \(>1\) sind (die Briggs’schen Logarithmen der algebraischen Zahlen gehören z. B. zu dieser Kategorie), und er gelangt zu dem Satze: Für die so definirten Zahlen \(\alpha\) genügt in der Kettenbruchentwickelung (1) \(a_n\) der Ungleichheitsbedingung \[ a_n < K\frac{M^{Q_n}}{Q_n},\tag{2} \] wo \(K\) und \(M\) zwei nur von \(A\) und \(B\) abhängige und für alle \(n\) gleichbleibende Constanten sind.
Die Abhängigkeit der Constanten \(K\), \(M\) von \(A\) und \(B\) wird in dem Specialfall, dass \(A\) und \(B\) ganze rationale Zahlen \(>1\) sind, näher untersucht; hier ergiebt sich \[ a_n < B^2\log B\frac{A^{Q_n}}{Q_n}. \] Construirt man eine Zahlenfolge \(a_n\), welche nicht der Bedingung (2) genügt, z. B. \(a_n=n^{Q_n}\) (\(Q_n\) ist ja nur von \(a_1,a_2,\dots,a_{n-1}\) abhängig; aus \(a_n\) ergiebt sich \(Q_{n+1}\), daraus \(a_{n+1}\) u. s. w.), so ist der Wert des Kettenbruches (1) sicher nicht von der Form \(\frac{\log A}{\log B}\), wo \(A\), \(B\) positive algebraische Zahlen \(>1\) sind.

MSC:

11J70 Continued fractions and generalizations
11A55 Continued fractions
11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers
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Full Text: DOI Numdam