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Sur un invariant d’un système de deux triangles et la théorie des intégrales doubles. (French) JFM 31.0320.01

Zwischen dem Differential \[ \frac{du\,dv}{\left(1-\frac xu-\frac yv\right)^3u^2v^2}, \] welches durch Aenderung von \(u\) und \(v\) in \(-\frac1u\) und \(-\frac1v\) in die Gestalt \[ \frac{du\,dv}{(ux + vy + 1)^3} \] übergeführt wird, und einer gewissen projectiven Invariante eines ebenen Systems zweier Dreiecke besteht eine ähnliche Beziehung wie zwischen dem Differentiale \[ \frac{dz}{(z-x)^2} \] und dem anharmonischen Verhältnisse.
Im Anschlusse hieran wird das Doppelintegral berechnet: \[ J = 1\cdot2\iint \frac{dx\,dy}{(ux+vy+1)^3}, \] erstreckt über die Fläche eines Dreiecks, welche von der Geraden \[ ux + vy + 1 = 0 \] nicht geschnitten wird. Sind \(a_ix+b_iy+c_i=0\) \((i=1,2,3)\) die Gleichungen der Dreiecksseiten, ist \[ \varDelta = \begin{vmatrix} a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{vmatrix} \] sind \(A_i\), \(B_i\), \(C_i\) die Adjuncten von \(a_i\), \(b_i\), \(c_i\) in \(\varDelta\), und ist \[ \varDelta_i = A_iu + B_iv + C_i, \] so ergiebt sich \[ J = \frac{\varDelta^2}{\varDelta_1\cdot\varDelta_2\cdot\varDelta_3}. \]
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Full Text: DOI Numdam EuDML