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Mémoire sur les équations différentielles dont l’intégrale générale est uniforme. (French) JFM 31.0337.03

In einer Reihe von Noten, die in den C. R. erschienen sind, hat Verf. die von ihm über die im Titel bezeichneten Differentialgleichungen gefundenen Resultate veröffentlicht, deren ausführliche Herleitung den Gegenstand einiger grösseren, demnächst erscheinenden Arbeiten bilden soll. In der vorliegenden Arbeit setzt er die von ihm befolgte Methode vorläufig an dem einfachsten Falle auseinander. Diese Methode beruht auf einem Lemma, welches unmittelbar aus einem heute bereits klassischen Satze von Poincaré folgt und also lautet: Es sei ein System von Differentialgleichungen gegeben, z. B. \[ \frac{dy}{dx} = H(x,y,z),\quad \frac{dz}{dx} = K(x,y,z),\tag{S} \] worin \(H\) und \(K\) rationale Functionen von \(x\), \(y\), \(z\) bedeuten, welche analytisch von einem Parameter \(\alpha\) abhängen und für \(\alpha=0\) holomorph sind. Wenn dann das allgemeine Integral des Systems (S) für jeden Wert von \(\alpha\) (ausgenommen vielleicht \(\alpha=0\)) eindeutig ist, so ist es auch noch für \(\alpha=0\) eindeutig, und die Entwickelungen von \(y(x)\), \(z(x)\) nach Potenzen von \(\alpha\) haben als Coefficienten eindeutige Functionen von \(x\). — An Stelle der Eindeutigkeit kann allgemeiner der Besitz fester Verzweigungspunkte treten. — Die Methode des Verf. besteht nun darin, in das gegebene Differentialsystem durch geeignete Transformation einen Parameter \(\alpha\) so einzuführen, dass das neue System sicher gleichzeitig mit dem ersten feste Verzweigungspunkte besitzt und für \(\alpha=0\) integrabel ist. Auf diese Weise erhält man notwendige Bedingungen für die Existenz fester Verzweigungspunkte; auf das durch diese Bedingungen vereinfachte System wird derselbe Process angewandt u. s. f., bis man zu keinen neuen Bedingungen mehr gelangt. Dann erst erfolgt die (viel schwierigere) Untersuchung, ob die so erschöpften notwendigen Bedingungen auch hinreichend sind. — Die vorliegende Arbeit enthält nun insbesondere: 1. die explicite Bestimmung aller Differentialgleichungen der Form \(y'' = a(x)y' + b(x)y^2 + c(x)y + d(x)\) mit festen Verzweigungspunkten mittels der angegebenen Methode; 2. die Auseinandersetzung der fundamentalen Eigenschaften der in diese Klasse gehörigen Gleichung \(y'' = 6y^2 + x\), deren allgemeines Integral eindeutig ist und die das erste bekannte Beispiel einer Differentialgleichung darbietet, welche mit Hülfe der Principien der Functionentheorie vollständig integrirt werden kann, ohne auf eine Combination von linearen Differentialgleichungen, Quadraturen oder selbst Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführbar zu sein; 3. eine vorläufige Untersuchung der Bedingungen, die eine Differentialgleichung dritter (oder höherer) Ordnung erfüllen muss, damit ihre Verzweigungspunkte fest seien. Diese Untersuchung setzt die bedeutende Rolle in Evidenz, welche die Arbeiten von Poincaré über die automorphen Functionen in dem systematischen Studium der Differentialgleichungen mit eindeutigen Integralen zu spielen berufen sind.

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Full Text: DOI Numdam EuDML