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Ueber bilineare Relationen zwischen den Perioden der Integrale reciproker Formenscharen. (German) JFM 31.0338.01
Von der bedeutsamen Arbeit liefert Verf. in der Einleitung selber folgende Inhaltsangabe: “Wählt man die Fundamentalsysteme der Integrale von zwei zu einander adjungirten linearen homogenen Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten in geeigneter Weise aus, so weisen die linearen Substitutionen, welche ihre Elemente bei Umlauf des Arguments um die singulären Punkte erfahren, contragredientes Verhalten auf. Das Gleiche gilt für zwei Formenscharen, welche mit je einem dieser zu einander adjungirten Integralsysteme zu derselben Art gehören. Nennen wir allgemein zwei Formenscharen mit Substitutionen von contragredientem Charakter “reciproke Scharen”, so wird dieser Begriff offenbar bereits durch das letzterwähnte Beispiel erschöpft, sofern wir uns auf die Betrachtung solcher Functionenscharen beschränken, welche an keiner Stelle unbestimmt werden. — Als “Perioden” des Integrals einer mehrdeutigen Function bezeichnen wir, nur um einen kurzen Ausdruck zur Hand zu haben und ohne uns auf eine präcise Definition einzulassen, gewisse Werte des Integrals, wenn sich die Integration in einem geschlossenen Zuge um Verzweigungspunkte des Integranden herum oder auch längs einer Verbindungslinie zwischen zweien dieser Punkte erstreckt.
In einer fundamentalen Arbeit älteren Datums und einer neueren daran anknüpfenden Note hat Fuchs ein merkwürdiges System von bilinearen Relationen entwickelt, welche zwischen den Perioden der Integrale von Lösungen linearer Differentialgleichungen stattfinden (J. für Math. 76, 177, 1873; Berl. Ber. 1892, 1113); und zwar dient ihm als Grundlage seiner Untersuchung nach dem Vorgange von Weierstrass gelegentlich der Herleitung der Beziehungen zwischen den Perioden der hyperelliptischen Integrale das Abel-Jacobi’sche Theorem über die Vertauschung von Parameter und Argument. Da die in Rede stehenden Relationen berufen zu sein scheinen, in einer weiteren Entwickelung der Theorie der Integrale dieser Functionenscharen und damit der Integrale der “homomorphen Functionen” eine ähnlich wichtige Rolle zu spielen, wie die Periodenrelationen in der Theorie der Abel’schen Integrale, so dürfte eine erneute Behandlung dieses Gegenstandes, welche sich zum Teil auf eine Ausdehnung der von Riemann im Falle der Abel’schen Integrale benutzten Principien stützt, nicht unangebracht sein. Ich habe derselben in meiner Arbeit “Ueber bilineare Relationen zwischen hypergeometrischen Integralen höherer Ordnung” (Math. Ann. 52) eine Erörterung des einfachsten Specialfalles, welcher durch die lineare Differentialgleichung erster Ordnung geliefert wird, vorangehen lassen, da dieser bei seinem elementaren Charakter eine bestimmtere Formulirung des Resultats gestattet. — Ebenso wie daselbst findet auch in der vorliegenden Untersuchung die invariantentheoretische Auffassung und Methode grundsätzliche Verwendung, der zufolge unter gewissen Voraussetzungen die Lösungen einer linearen Differentialgleichung zweckmässig nicht als Functionen, sondern als homogene Formen zu betrachten sind. Der Gedankengang, der sich auf diese Auffassung gründet, mag hier in Kürze angedeutet werden: Indem unter dem hervorgehobenen Gesichtspunkte der sonst ausgezeichnete unendlich ferne Verzweigungspunkt durch einen willkürlichen Parameter ersetzt wird, ist die Veranlassung gegeben, die Perioden der Integrale jener Lösungen in ihrer Abhängigkeit von diesem Parameter zu studiren. Sie erfüllen, als Functionen desselben betrachtet, ihrerseits wieder eine lineare Differentialgleichung; und zwar zeigt sich des näheren, dass diejenigen beiden Differentialgleichungen, welchen die Perioden der Integrale von zwei adjungirten Formenscharen genügen, ebenfalls zu einander adjungirt sind. Dieser Umstand lässt nur unmittelbar die Existenz von bilinearen Relationen erkennen, welche die Perioden der Integrale gewisser reciproker Formenscharen mit einander verbinden. Was die explicite Formulirung derselben anbelangt, so liefert die Theorie der linearen Differentialgleichungen zwei verschiedene Darstellungsweisen, die ihrem algebraischen Charakter nach äquivalent sind. Die eine bedarf zu ihrer näheren Ausgestaltung der oben angedeuteten Erweiterung einer Riemann’schen Idee. Indes ist letztere nicht etwa als blosses Hülfsprincip anzusehen; vielmehr führt gerade sie uns auf einen höheren Standpunkt, von welchem aus sich erst das ganze Gebiet verwandter Erscheinungen überblicken lässt. Insbesondere gelangen wir durch parallel gehende Verallgemeinerung eines zweiten Riemann’schen Gedankens zur Construction gewisser Ungleichungen, welchen die reellen und imaginären Componenten der in Rede stehenden Perioden unter besonderen Voraussetzungen genügen. — Zugleich gewähren diese Methoden die Einsicht, dass analoge Verhältnisse auch bei linearen Differentialgleichungen statthaben, deren Coefficienten eindeutige algebraische Functionen auf einer Riemann’schen Fläche sind. Hinsichtlich der zweiten Darstellungsweise, der Beziehungen unter den Perioden erweist sich als naturgemässer Ausgangspunkt wieder das Abel-Jacobi’sche Theorem über die Vertauschung von Parameter und Argument, welches hierbei selbst in einer der homogenen Auffassung entsprechenden Form zu Tage tritt. Im Verlauf der ferneren Entwickelung lässt sich das von Fuchs eingeschlagene Verfahren in gewissen Punkten vereinfachen und weiter führen; es gelingt schliesslich, die Coefficienten der Fundamentalsubstitutionen einer Formenschar, explicit als rationale Invarianten der Perioden ihrer Integrale darzustellen. — Zum Zwecke der Herleitung der oben erwähnten linearen Differentialgleichung der Perioden und im weiteren Zusammenhange damit stütze ich mich auf die interessanten Untersuchungen von Schlesinger über die Theorie der Euler’schen Transformirten; dieselben werden zugleich durch Heranziehung des formentheoretischen Gesichtspunktes in ein helleres Licht gerückt.
Die vorliegende Arbeit ist in drei Abschnitte eingeteilt: Der erste beschäftigt sich mit der Construction und näheren Untersuchung der Differentialgleichung der Perioden und bringt nach einigen Vorbereitungen, die erst späteren Zwecken dienen, die allgemeine Formulirung der Periodenrelationen. Der zweite Abschnitt enthält die genauere Ausarbeitung der “Periodenrelationen zweiter Art”, welche aus dem Abel-Jacobi’schen Theorem fliessen. Der dritte Abschnitt endlich hat zum Gegenstand die sich in der Methode an Riemann anschliessende Entwickelung der “Relationen erster Art” sowie der Ungleichungen unter den Perioden.”

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References:
[1] Wir bedienen uns hier des Artbegriffs im gleichen Sinne, wie Hr. Schlesinger in seinem ?Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungent?, Bd. II, 1, pag. 120.
[2] Crelle’s Journal Bd. 76, pag. 177, und Sitzungsberichte der Berliner Akademie 1892 II, pag. 1113.
[3] Mathem. Annalen, Bd. 52.
[4] ?Ueber die Integration linearer homogener Differentialgleichungen durch Quadraturen?, Crelle’s J. Bd. 116, und ?Zur Theorie der Euler’schen Transformirten einer homogenen linearen Differentialgleichung der Fuchs’schen Klasse?, Crelle’s J. Bd. 117; oder ?Handbuch?, Bd. II, 1. zwölfter Abschnitt.
[5] Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. II, chap. V.
[6] ?Handbuch? Bd. I, zweiter Abschnitt, Kap. III.
[7] Darboux, l. c. p. 103.
[8] Vergl. H. I. pag. 160.
[9] Vergl. Borel, ?Sur l’équation adjointe et sur certains systèmes d’équations différentielles?, Annales de l’école normale, 3. série, t. 9, 1892, pag. 71.
[10] In der Abhandlung von Jacobi ?Ueber die Vertauschung von Parameter und Argument bei der dritten Gattung der Abel’schen und höhern Transcendenten?, Ges. Werke Bd. II, pag. 134 findet sich irrthümlicherweise die Angabe, dass man stets die Gleichungv i =u i herstellen könne.
[11] Vergl. H. I. §1.
[12] Siehe H. I. § 2.
[13] Riemann, Werke, 2. Aufl., pag. 353, ?Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation?, und Hadamard, Thèse ?Essai sur l’étude des fonctions données par leur développement de Taylor?, troisième partie, betrachten die Erzeugung vonU(z) ausu(z) aus dem Gesichtspunkte der ?verallgemeinerten Differentiation?.
[14] Crelle’s J. Bd. 117, pag. 148, oder ?Handbuch? II, 1. pag. 414.
[15] H. I. (10), (11).
[16] Crelle’s J. Bd. 116, pag. 106, oder ?Handbuch?, II, 1, pag 417.
[17] Vergl. hierzu Schlesinger, Crelle’s J. Bd. 116, pag. 130, oder ?Handbuch?, II, 1, pag. 451.
[18] Oeuvres t. I, Nr. II, ?Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies?, pag. 14, und Nr. IX, ?Résolution d’un problème de mécanique?, pag. 99-100.
[19] Vergl. Schlesinger, Crelle’s J. Bd. 116, pag. 111 und 130, oder ?Handbuch?, II, 1, pag. 423 und 453.
[20] Ges. Werke, 2 te Aufl. ?Zwei allgemeine Sätze über lineare Differentialgleichungen mit algebraischen Coefficienten?, pag. 380.
[21] Crelle’s J. Bd. 117, Nr. III, IV; oder ?Handbuch? II, 1. Nr. 239, 240.
[22] Vgl. Riemann, 1. c. pag. 388. Werke, 2. Aufl., ?Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation?,
[23] Fuchs, ?Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten?, Crelle’s J. Bd. 66, pag. 145, (10).
[24] Vgl. Jacobi, Werke Bd. II, pag. 128 ff.
[25] ?Ueber Relationen, welche für die zwischen je zwei singulären Punkten erstreckten Integrale der Lösungen linearer Differentialgleichungen stattfinden,? Crelle’s Journal Bd. 76, Nr. 4. · JFM 05.0172.01
[26] Vgl. Fuchs, 1. c. Nr. 7.
[27] Vgl. Fuchs, 1. c. Nr. 13.
[28] Jacobi, Werke Bd. II, pag. 128ff.
[29] Vgl. Fuchs, l. c. Nr. 10.
[30] Vgl. Fuchs, l. c. Nr. 19 (S)
[31] ?Ueber die Relationen, welche die zwischen je zwei singulären Punkten erstreckten Integrale der Lösungen linearer Differentialgleichungen mit den Coefficienten der Fundamentalsubstitutionen der Gruppe derselben verbinden?. Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 1892 II, pag. 1117.
[32] ?Theorie der Abel’schen Functionen?, Nr. 20. · ERAM 054.1427cj
[33] Vgl. H. I. § 5.
[34] ?Uebers eine Darstellungsweise der invarianten Gebilde im binären Formengebiete?, Mathem. Annalen, Bd. 30, pag. 15. ? Vgl. H. I. pag. 134. · JFM 19.0114.01
[35] Vgl. Clebsch und Gordan, Theorie der Abel’schen Functionen, §33.
[36] ?Theorie der Abel’schen Functionen?, Nr. 21. · ERAM 054.1427cj
[37] Riemann, l. c.
[38] In der Abhandlung ?Über eine Klasse linearer homogener Differentialgleichungen?, Berliner Sitzungsberichte 1896, untersucht Hr. Fuchs Differentialgleichungen, mit deren Integralen sich eine Hermite’sche Form bilden lässt, die durch die Substitutionen der Gruppe in sich übergeführt wird.
[39] Siehe ?Über die principale Transformation der Thetafunctionen?, Crelle’s J. Bd. 95, pag. 267; vgl. auch Löwy, ?Über bilineare Formen mit conjugirt imaginären Variablen?, Mathem. Annalen, Bd. 50, pag. 565.
[40] Löwy, ?Sur les formes quadratiques définies à indéterminées conjugées de M. Hermite?, Comptes rendus 1896; Moore, ?An universal invariant for finite groups of linear substitutions: with application in the theory of the canonical form of a linear substitution of finite period.? Mathem. Annalen, Bd. 50, pag. 213.
[41] Vgl. H. I. pag. 148 ff.
[42] Vgl. Hermite, ?Sur le nombre des racines d’une équation algébrique comprises entre des limites données?, Crelle’s J. Bd. 52, pag. 40.
[43] Schwarz, ?Ueber diejenigen Fälle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt,? Crelle’s J. Bd. 75, Nr. V, VI. · JFM 05.0146.03
[44] ?Sur les fonctions hyperfuchsiennes provenant des séries hypergéometriques de deux variables?, Annales de l’école normale, III série, t. II, 1885, pag. 375.
[45] ?Ueber Riemann’sche Formenschaaren auf einem beliebigen algebraischen Gebilde?, Mathem. Analen, Bd. 47.
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