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Sur l’intégrale résiduelle. (French) JFM 31.0377.03

Die Untersuchung des Verf. hängt innig zusammen mit der Formulirung des Huygens’schen Princips von Kirchhoff. Bedeutet \(u(x_1, x_2,\dots,x_n, t)\) ein Integral der Gleichung \[ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = a^2\varDelta u, \] welches durch seine Werte und die seiner ersten Ableitungen in einer Mannigfaltigkeit \(M_n\) von \(n\) Dimensionen gegeben ist, so besagt das Huygens’sche Princip in der Kirchhoff’schen Formulirung, dass, um \(u(x_1^0,x_2^0,\dots,x_n^0, t^0)\) durch ein bestimmtes Integral als Function der Werte auszudrücken, welche \(u\) und \(\partial u/\partial x_i\) in einer gewissen Function \(P_n\) von \(M_n\) annehmen, es genügt, die Werte von \(u\), \(\partial u/\partial x_i\) auf der Grenze von \(P_n\) zu kennen. Bei dieser Auffassung ist das Huygens’sche Princip eine besondere Eigenschaft der Schallgleichung, die der Gleichung der cylindrischen Wellen nicht zukommt. In diesem Falle wird nämlich jeder Punkt in dem Augenblicke in Bewegung geraten, in welchem er von der Welle erreicht wird, aber nach dem Vorübergang der Welle wird er nicht mehr zur Ruhe kommen. Die Gleichung dieser neuen Bewegung nennt Verf. das Residual-Integral der Gleichung der cylindrischen Wellen. Dieses Residual-Integral ist im Falle der Kugelschallwellen nach dem Huygens’schen Princip identisch Null.
Verf. studirt nun genauer den Fall zweier unabhängigen Variabeln und untersucht, in welchen Fällen das Residual-Integral von \[ \frac{\partial^2z}{\partial z\partial y} + a\frac{\partial z}{\partial x} + b\frac{\partial z}{\partial x} + cz = 0 \] einer oder mehreren linearen Gleichungen genügt, die von der vorstehenden und deren Ableitungen verschieden sind. Es ergiebt sich, dass dazu die Laplace’sche Folge der gegebenen Gleichung in einer Richtung oder in beiden Richtungen abbrechen muss. Verf. betrachtet hiernach noch das Problem der Ausbreitung des Schalles in einem begrenzten Mittel.