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A class of new transcendants. (Sur une classe de transcendantes nouvelles.) (French) JFM 31.0427.02

Es wird eine wichtige Ergänzung zu der ersten Abhandlung (F. d. M. 25, 713-714, 1894, JFM 25.0713.02) gegeben, in der gezeigt worden war, dass es Systeme von \(m\) eindeutigen Functionen \(f_1(x)\), ..., \(f_m(x)\) mit der einen wesentlich singulären Stelle \(x=\infty\) giebt, die die Periode \(\omega'i\) haben und, wenn \(x\) durch \(x+\omega\) ersetzt wird, den Gleichungen genügen: \[ f_1(x+\omega) = R_1(f_1(x),\dots, f_m(x)),\quad f_2(x+\omega) = R_2(f_1(x),\dots, f_m(x)), \]
\[ \dots, f_m(x+\omega) = R_n(f_1(x),\dots, f_m(x)), \] wo die rationalen Functionen \(R_1\), \(R_2\), ..., \(R_m\) so beschaffen sind, dass \[ f_1' = R_1(f_1,\dots,f_m),\,\dots,\, f_m' = R_m(f_1,\dots,f_m) \] eine birationale Transformation darstellt. Bei dem Beweise der Existenz musste vorausgesetzt werden, dass weder \(m\) noch die zu einem Doppelpunkte dieser Transformation gehörigen Constanten \(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_m\) gleich \(e^{\frac{2\nu\pi\omega}{\omega'}}\) sind, wo \(\nu\) eine ganze positive oder negative Zahl bedeutet.
Picard zeigt jetzt, wie man diese Einschränkungen beseitigen kann, indem man den Existenzbeweis passend ändert, nämlich statt der Polynome \(Q_1\), ..., \(Q_n\) unendliche Reihen nimmt. Auf diese Weise fällt die Beschränkung für \(m\) sofort weg, während die Beschränkung für \(\mu_1,\dots,\mu_m\) dadurch gehoben wird, dass das Problem durch die Substitution \(f_a(x) = \lambda(x)F_a(x)\), wo \(\lambda(x)\) eine doppeltperiodische Function zweiter Art mit den Multiplicatoren 1 und \(a\) bedeutet, auf ein ähnliches zurückgeführt wird, bei dem statt der Constanten \(\mu_1,\dots,\mu_m\) die Constanten \(\mu_1/a,\dots,\mu_m/a\) erscheinen. Da nun \(a\) ganz beliebig ist, kann man darüber so verfügen, dass keine singulären Werte auftreten.

MSC:

30D05 Functional equations in the complex plane, iteration and composition of analytic functions of one complex variable

Citations:

JFM 25.0713.02
Full Text: DOI

References:

[1] Acta mathematica (tome 18); on est prié de se reporter aux notations de ce mémoire.
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