×

A class of new transcendants. (Sur une classe de transcendantes nouvelles.) (French) JFM 31.0427.02

Es wird eine wichtige Ergänzung zu der ersten Abhandlung (F. d. M. 25, 713-714, 1894, JFM 25.0713.02) gegeben, in der gezeigt worden war, dass es Systeme von \(m\) eindeutigen Functionen \(f_1(x)\), ..., \(f_m(x)\) mit der einen wesentlich singulären Stelle \(x=\infty\) giebt, die die Periode \(\omega'i\) haben und, wenn \(x\) durch \(x+\omega\) ersetzt wird, den Gleichungen genügen: \[ f_1(x+\omega) = R_1(f_1(x),\dots, f_m(x)),\quad f_2(x+\omega) = R_2(f_1(x),\dots, f_m(x)), \]
\[ \dots, f_m(x+\omega) = R_n(f_1(x),\dots, f_m(x)), \] wo die rationalen Functionen \(R_1\), \(R_2\), ..., \(R_m\) so beschaffen sind, dass \[ f_1' = R_1(f_1,\dots,f_m),\,\dots,\, f_m' = R_m(f_1,\dots,f_m) \] eine birationale Transformation darstellt. Bei dem Beweise der Existenz musste vorausgesetzt werden, dass weder \(m\) noch die zu einem Doppelpunkte dieser Transformation gehörigen Constanten \(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_m\) gleich \(e^{\frac{2\nu\pi\omega}{\omega'}}\) sind, wo \(\nu\) eine ganze positive oder negative Zahl bedeutet.
Picard zeigt jetzt, wie man diese Einschränkungen beseitigen kann, indem man den Existenzbeweis passend ändert, nämlich statt der Polynome \(Q_1\), ..., \(Q_n\) unendliche Reihen nimmt. Auf diese Weise fällt die Beschränkung für \(m\) sofort weg, während die Beschränkung für \(\mu_1,\dots,\mu_m\) dadurch gehoben wird, dass das Problem durch die Substitution \(f_a(x) = \lambda(x)F_a(x)\), wo \(\lambda(x)\) eine doppeltperiodische Function zweiter Art mit den Multiplicatoren 1 und \(a\) bedeutet, auf ein ähnliches zurückgeführt wird, bei dem statt der Constanten \(\mu_1,\dots,\mu_m\) die Constanten \(\mu_1/a,\dots,\mu_m/a\) erscheinen. Da nun \(a\) ganz beliebig ist, kann man darüber so verfügen, dass keine singulären Werte auftreten.

MSC:

30D05 Functional equations in the complex plane, iteration and composition of analytic functions of one complex variable

Citations:

JFM 25.0713.02
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] Acta mathematica (tome 18); on est prié de se reporter aux notations de ce mémoire.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.