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Die Legendre’schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck. (German) JFM 31.0471.01

Von den vier Axiomgruppen, die Hilbert in seiner Festschrift (s. F. d. M. 30, 424, JFM 30.0424.01) unterschieden hat, legt der Verf. die erste, zweite und vierte zu Grunde, also die Axiome der Verknüpfung, der Anordnung und der Congruenz; dagegen verzichtet er auf das Parallelenaxiom und auf das Archimedische. Indem er nun zu den “wirklichen” Punkten u. s. w. noch “ideale” Punkte u. s. w. hinzunimmt, erreicht er, dass die Axiome der Verknüpfung ausnahmslos gelten, dass also je zwei Gerade einander in einem (wirklichen oder idealen) Punkte treffen u. s. w.; indem er ferner eine ideale Ebene als “Normalebene” festsetzt, erreicht er, dass die Axiome der Anordnung für alle Elemente gelten mit alleiniger Ausnahme der Elemente der Normalebene. Damit ist dann zugleich die Gültigkeit des Satzes von Desargues über die perspectiven Dreiecke allgemein beweisbar. Ferner lässt sich zeigen, dass alle Senkrechten auf einer Geraden durch einen Punkt, den Pol dieser Geraden, gehen und dass der Inbegriff der Pole aller Geraden, die durch einen wirklichen Punkt gehen, aus den Punkten einer Geraden (der Polare jenes Punktes) besteht; endlich lassen sich die Eigenschaften der auf der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreiecks errichteten Mittelsenkrechten auf den Fall übertragen, dass die Spitze des Dreiecks ein idealer Punkt ist. Nunmehr wählt der Verf. auf der Ebene irgend einen Punkt \(O\) aus, dessen Polare \(t\) sei, und führt eine Pseudogeometrie ein, deren Punkte und Gerade alle wirklichen und idealen Punkte und Geraden der Ebene sind, mit Ausnahme der Punkte von \(t\) und der Geraden \(t\) selbst. Für diese Pseudogeometrie gelten alle Axiome der Verknüpfung und Anordnung sowie das Parallelenaxiom (Gerade, die einander auf \(t\) treffen, heissen pseudoparallel). Ferner lässt sich der Begriff der Pseudocongruenz von Strecken und Winkeln einführen, und man erhält so eine Pseudogeometrie, die im Grunde identisch ist mit der euklidischen Geometrie, deren unendlich ferne Gerade \(t\) ist, und deren Kreispunkte harmonisch liegen zu den Punktepaaren, die auf \(t\) von den zu einander senkrechten Strahlenpaaren durch \(O\) ausgeschnitten werden. In dieser Pseudogeometrie gelten nun alle Sätze der euklidischen Geometrie; daher ist z. B. die Winkelsumme jedes Dreiecks pseudocongruent zwei Rechten. Ferner lässt sich nach Hilbert ohne Benutzung des Archimedischen Axioms eine Streckenrechnung und eine Art analytischer Geometrie construiren, mit deren Hülfe der Pascal’sche Satz über das Geradenpaar beweisbar ist, der nunmehr, als reiner Schnittpunktsatz, auch in der ursprünglichen Geometrie gilt; endlich lässt sich auch die projective Geometrie begründen. Der Verf. beweist jetzt, dass zwei congruente Punktreihen auf verschiedenen Geraden stets projectiv sind, und leitet daraus eine Beziehung zwischen der Congruenz und der Pseudocongruenz solcher Strecken ab, die auf den durch \(O\) gehenden Geraden liegen. Mit Hülfe dieser Beziehung gelingt es ihm dann, ganz ohne das Archimedische Axiom den Satz zu beweisen, dass, wenn die Winkelsumme in einem Dreiecke kleiner, gleich, grösser als zwei Rechte ist, sie in jedem andern Dreiecke ebenso beschaffen ist. Mit Hülfe der von Hilbert angegebenen nichtarchimedischen Geometrie lassen sich ferner zwei Geometrien construiren, in denen die Winkelsumme grösser als zwei Rechte, bez. gleich 2 Rechten ist, in denen aber doch durch jeden Punkt zu jeder Geraden unendlich viele Parallelen möglich sind (die nicht-Legendre’sche und die semi-euklidische Geometrie). Dagegen folgt merkwürdiger Weise aus der Nichtexistenz von Parallelen notwendig, dass die Winkelsumme grösser als zwei Rechte ist, auch wenn das Archimedische Axiom nicht gilt. Die bisherigen Ansichten über die Beziehung zwischen der Winkelsumme und der Zahl der Parallelen durch einen Punkt müssen also, wenn das Archimedische Axiom wegfällt, wesentlich modificirt werden.

Citations:

JFM 30.0424.01
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References:

[1] Festschrift zur Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals. Leipzig 1899.
[2] S. Festschrift, S. 89.
[3] S. Pasch, l. c. § 9.
[4] Vgl. Festschrift § 6, erstes Gongruenzaxiom.
[5] S. § 3, 1 den speciellen Fall des allgemeinen Schnittpunktsatzes.
[6] Vgl. Festschrift § 6 zweites Congruenzaxiom.
[7] Vgl. Festschrift § 6, drittes Congruenzaxiom.
[8] S. Festschrift § 6, viertes und fünftes Congruenzaxiom.
[9] S. Festschrift § 6, sechstes Congruenzaxiom und § 7, Satz. 10.
[10] Der specielle Pascal’sche Satz, bei dem die Pascalgerade die ?unendlich ferne? Gerade ist, wird übrigensigerade zum Aufbau der Streckenrechnung in der Festschrift benutzt. Der allgemeine Fall desselben wird jedoch am einfachsten mittels der Streckenrechnung abgeleitet?Einen Beweis des Pascal’schen Satzes mittels sämmtlicher Axiome der Gruppen I, II, IV giebt Schur, Math. Ann. Bd. 51.
[11] s. Festschrift: Cap. III; § 15.
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