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On certain crinkly curves. (English) JFM 31.0564.03
Es seien \(x = \varphi(t)\), \(y = \psi(t)\) stetige reelle Functionen der reellen Variable \(t\), so kann durch dieselben eine ebene \((xy)\)-Curve dargestellt werden. Peano und Hilbert haben zuerst Beispiele für Curven gegeben, welche ein Flächenstück oder auch die ganze Ebene vollständig ausfüllen. Die definirenden Functionen \(x = \varphi(t)\), \(y = \psi(t)\) dieser Curven haben an keiner Stelle einen bestimmten Differentialquotienten oder, mit anderen Worten, die durch \(x = \varphi(t)\) (und ebenso die durch \(y = \psi(t)\)) dargestellte \((xt)\)-Curve hat an keiner Stelle eine bestimmte Tangente. Moore giebt eine ausführliche geometrische und analytische Darstellung dieser Curven und fuhrt die Untersuchung der zur Peano’schen Curve gehörigen Functionen \(x = \varphi(t)\), \(y = \psi(t)\) weiter, indem er auf die Frage nach dem etwaigen Vorhandensein eines bestimmten vorwärts oder rückwärts genommenen Differentialquotienten eingeht. Es ergeben sich folgende Resultate: Die in Rede stehenden Functionen haben an keiner Stelle einen bestimmten endlichen, vorwärts oder rückwärts genommenen Differentialquotienten; auch giebt es keine Stelle, an welcher sowohl ein bestimmter unendlich grosser vorwärts genommener, als auch ein bestimmter unendlich grosser rückwärts genommener Differentialquotient vorhanden ist. Wohl aber existiren Stellen, an denen nur der vorwärts (rückwärts) genommene Differentialquotient einen bestimmten unendlich grossen Wert hat, während der rückwärts (vorwärts) genommene unbestimmt ist. Diese Stellen sind überall dicht verteilt.

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