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Sur les propriétés métriques d’une certaine correspondance \((1,1)\) entre cubiques focales. (French) JFM 31.0592.01
Der geometrische Ort der Brennpunkte aller Kegelschnitte, welche einem Viereck eingeschrieben werden können, ist eine specielle Curve dritter Ordnung (cubique focale), welche auch dadurch charakterisirt ist, dass sie die beiden unendlich fernen Kreispunkte, und zwar als ein Steiner’sches Paar, enthält. Die Tangenten in diesen Punkten schneiden sich also in einem Punkte \(a\) der Curve. Der von den beiden andern von \(a\) ausgehenden Tangenten gebildete Winkel ist durch die absolute Invariante der Curve ebenso wie diese durch ihn eindeutig bestimmt. Man kann bei zwei derartigen Curven, wenn sie dieselbe Invariante besitzen, eine (und noch eine zweite) birationale Correspondenz angeben, in welcher die Schnittpunkte \(a\) und \(a'\) der an die jeweilige Curve in den unendlich fernen Kreispunkten gelegten Tangenten einander entsprechen. Solche Correspondenzen untersucht der Verf. Von den Resultaten sei eines hervorgehoben: Ein der einen Curve eingeschriebenes Viereck, dessen Gegenecken Steiner’sche Paare bilden, und das correspondirende der anderen Curve eingeschriebene Viereck haben proportionale Seiten. Nun sind es eben solche Vierecke, von denen man in der eingangs angegebenen Weise zu der Curve gelangt. Die ebenfalls gültige Umkehrung des Satzes besagt daher: Wird ein Viereck derartig variirt, dass die Verhältnisse seiner Seiten constant bleiben (wobei es natürlich nicht mit sich ähnlich zu bleiben braucht), so behält die aus den Brennpunkten der eingeschriebenen Kegelschnitte bestehende Curve ihre absolute Invariante bei, und die Ecken der verschiedenen Vierecke sind einander in birationalen Correspondenzen der Curven zugeordnet.

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Full Text: DOI Numdam EuDML