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Sur une classe de surfaces algébriques dont les coordonnées s’expriment par des fonctions uniformes de deux paramètres. (French) JFM 31.0617.02
Wenn \(F(x, y, z)=0\) eine algebraische Fläche ist, welche eine rationale Transformation in sich zulässt von der Form: \[ X = R_1(x, y, z),\quad Y = R_2(x, y, z),\quad Z = R_3(x, y, z), \] mit dem Doppelpunkte \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\), der ein einfacher Punkt der Oberfläche ist, so fragt Verf. nach den eindeutigen Functionen \(f(t)\), \(\varphi(t)\), \(\psi(t)\) für welche die Gleichungen \[ F[f(t), \varphi(t), \psi(t)] = 0,\quad f(mt) = R_1[f(t), \varphi(t), \psi(t)], \] nebst analogen Relationen für \(\varphi\) und \(\psi\) erfüllt sind. Die Functionen \(f\), \(\varphi\) und \(\psi\) ergeben sich durch Reihenentwickelung nach der Methode der successiven Approximation, durch welche insbesondere der Radius für den Convergenzbereich bestimmt wird. Die Functionen \(f\) und \(\psi\) hängen ausser von den Variabeln \(t\) von zwei Constanten \(A\) und \(B\) ab und sind für alle endlichen Werte meromorphe Functionen derselben. Indem man \(At = u\), \(Bt = v\) setzt, kann man \(f\), \(\varphi\), \(\psi\) als Functionen von \(u\) und \(v\) setzen. Man erhält dann eine Oberfläche, deren Punkte \(x\), \(y\), \(z\) sich durch die meromorphen Functionen \(f\), \(\varphi\), \(\psi\) so ausdrücken: \[ z = f(u,v),\quad y = \varphi(u,v),\quad z = \psi(u,v) \] mit den Bedingungen \[ f(au, av) = R_1[f(u, v), \varphi(u, v), \psi(u, v)] \] nebst den analogen für \(\varphi\) und \(\psi\). Verf. wirft die Frage auf, ob solche Oberflächen überhaupt existiren, ausser bekannten unicursalen Flächen, ferner ob die Darstellung alle Punkte der Oberfläche erreicht, ohne diese Fragen jedoch zu entscheiden.

Subjects:
Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. B. Theorie der algebraischen Flächen und Raumcurven.
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Full Text: DOI Numdam EuDML