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Sur les surfaces réglées du quatrième degré. (French) JFM 31.0630.01

Die Arbeit bezieht sich auf Regelflächen vierter Ordnung mit zwei Doppelgeraden. Indem diese letzteren als Träger zweier projectivischen Ebenenbüschel angesehen werden, ist die Gleichung der Fläche quadratisch in jedem der Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) der Ebenenbüschel und erscheint als das Integral einer Additionsdifferentialgleichung elliptischer Integrale, wobei die Fläche in Parameterdarstellung lautet: \[ x = \frac1v;\quad y = \frac{\operatorname{sn}u}v;\quad z = \operatorname{sn}(u-\alpha). \] Als ausgezeichnete Erzeugende bezeichnet der Verf. die acht Geraden, längs deren sich die Fläche wie eine Abwickelbare verhält. Die Fläche lässt sich ferner als Enveloppe von \(F_2\) betrachten, welche die Doppelgeraden in zwei festen Punkten treffen, von welchen je eine ausgezeichnete Erzeugende ausgeht. Alle \(F_2\) berühren vier feste Ebenen. Es giebt 12 Familien von \(F_2\), welche der Fläche \(S\) längs einer Raumcurve vierter Ordnung eingeschrieben sind; jeder entspricht eine besondere Form des Additionstheorems der elliptischen Functionen. Der Verf. stellt nun die Bedingungen auf, a) dass vier Erzeugende einer \(F_2\) angehören, b) dass eine \(F_2\) die Fläche längs zweier Geraden berühre, c) dass eine \(F_2\) \(S\) osculire (durch eine Erzeugende gehen deren neun), d) dass eine \(F_2\) \(S\) hyperosculire (es giebt deren 16, und es werden die 16 Erzeugenden, längs deren sie berühren, untersucht). Der Verf. untersucht weiter den Zusammenhang des Doppelverhältnisses der vier durch die zu einer Doppelgeraden gehörigen ausgezeichneten Geraden gehenden Büschelebenen mit dem Modul der elliptischen Functionen. In das Doppelverhältnis der Schnittpunkte der ausgezeichneten Erzeugenden mit der Doppelgeraden geht ausser dem Modul auch die Invariante \(\alpha\) ein. Durch jeden Punkt der Fläche gehen an dieselbe vier Doppeltangenten, deren Doppelverhältnis constant und ebenfalls eine Function des Moduls ist. Der Verf. betrachtet weiter polygonale Züge, aus Erzeugenden bestehend, deren Ecken auf der Doppelgeraden liegen, und kommt zu Polygonen, welche den Poncelet’schen analog sind; sodann zeigt er, dass man immer eine \(F_2\) finden kann, in Bezug auf welche \(S\) autopolar ist. Die Haupttangentencurven von \(S\) bestimmen sich durch Quadraturen und sind algebraische Raumcurven achter Ordnung; sie gehen durch die Schnittpunkte der Doppelgeraden mit den ausgezeichneten Erzeugenden. Der Verf. zeigt noch die Modificationen, welche die vorstehende Theorie durch Auftreten einer dritten, die beiden ersten schneidenden Doppelgeraden erleidet, und im Anhang noch einige andere Ausartungsfälle, nämlich Flächen mit zwei zusammenfallenden Doppelleitlinien, solche mit Doppelcurve dritter Ordnung, und solche mit Doppelkegelschnitt und Doppelgerade.
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Full Text: DOI Numdam EuDML