Sulle condizioni di razionalità dei piani doppi. (Italian) JFM 31.0658.02

Castelnuovo, G.; Enriques, F.

Palermo Rend. 14, 290-302 (1900).

Die sehr interessante Abhandlung der beiden italienischen Geometer bringt die Frage über die Rationalität der Doppelebenen \(\{x, y, \sqrt{f(x,y)}\}\) zu einem Abschluss durch Abzählungen in Bezug auf successiv adjungirte Curven vom ersten, zweiten, ... Index. Die Verzweigungscurve kann immer von geradem Grade angenommen werden und ist durch birationale Transformation der Ebene stets überführbar in eine Curve geraden Grades mit lauter vielfachen Punkten gerader Ordnung oder zwei unendlich nahen solcher Punkte ungerader Ordnung. Der Begriff der Multiplicität eines Punktes erfährt eine kleine Erweiterung mit Rücksicht auf die Transformation. Als “virtuelle” Multiplicität, die durch die adjungirten Curven bestimmt ist, gilt eine Zahl, welche von der wirklichen Multiplicität um 1 differiren kann.
Es wird dann gezeigt, dass die Curven \(C_{2n}\), welche keine Adjungirte besitzen, weder solche vom ersten \((C_{2n-3})\), zweiten \((C_{2n-6})\) etc. Index, transformirbar sind in einen Kegelschnitt, oder in eine geradzahlige Gruppe von Geraden durch einen Punkt, bezw. zwei unendlich benachbarte. Besitzt ferner die \(C_{2n}\) nur die Adjungirte vom Index 1, so ist sie transformirbar a) in eine \(C_{2\nu}\) mit \((2\nu-2)\)-fachem oder vielfacherem Punkte, oder b) in eine allgemeine \(C_4\), oder c) in eine \(C_6\) mit zwei unendlich nahen Punkten. Schliesslich wird umgekehrt bewiesen, mit Zuhülfenahme der successiven Flächengeschlechter \(P_1\), \(P_2\), ..., dass für eine Verzweigungscurve einer Doppelcurve, die rational oder auf eine Regelfläche abbildbar ist, die Adjungirten vom zweiten Index ab nicht existiren können, wodurch der von Clebsch und Noether aufgestellte Satz und dessen von Noether bewiesene Umkehrung ganz neu bewiesen sind, wenn auch unter Voraussetzung eigentlicher vielfacher Punkte.
Der Schluss der Note enthält noch verschiedene Anwendungen des Satzes auf rationale krumme Flächen, Curvensysteme und die Transformation specieller Curven.

Reviewer: Sommer, Prof. (Poppelsdorf)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 5. Verwandtschaft, eindeutige Transformationen, Abbildungen. A. Verwandtschaft, eindeutige Transformation und Abbildung.