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Contribution à l’étude de l’équilibre élastique d’une plaque rectangulaire mince. (French) JFM 31.0766.01
Navier hat die Differentialgleichung der elastischen Platte für den Fall, dass dieselbe rechteckig ist und auf allen vier Seiten aufliegt, integrirt. Die Differentialgleichung lautet bekanntlich: \[ \frac{\partial^4w}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4w}{\partial x^2\partial y^2} + \frac{\partial^4w}{\partial y^4} = \frac{15}{16\varepsilon J}p. \] Hierin bedeutet \(w\) die senkrechte Durchbiegung, \(p\) die Belastung der Flächeneinheit, \(J = \frac1{12}\varepsilon^3\) das Trägheitsmoment eines Einheitsstreifens. Die Navier’sche Lösung, die den Grenzbedingungen einfacher Stützung von selbst genügt, lautet: \[ w = \sum_i\sum_\gamma A_{i\gamma}\sin\frac{i\pi x}a \sin\frac{\gamma\pi x}b, \] wo \(a\) und \(b\) die Seitenlängen der Platte und \(A_{i\gamma}\) ein durch die Fourier’sche Methode zu bestimmender Coefficient sind.
M. Lévy hat auch das vollständige Integral für den Fall aufgestellt, dass nur zwei gegenüberliegende Seiten frei anfliegen, wo jede der beiden anderen beliebig gestützt ist, durch die Reihe: \[ w = \sum_i Y_i\sin\frac{i\pi x}a, \] die den beiden ersten Grenzbedingungen von selbst genügt, und in der \(Y_i\) noch so bestimmt werden muss, dass die Differentialgleichung und die anderen Grenzbedingungen befriedigt werden.
Offenbar erlaubt die Methode von M. Lévy die Behandlung von sechs verschiedenen Fällen von Randstützung, die der Verf. im einzelnen durchführt. Im besonderen werden für \(p =\) const. die Durchbiegungen in der Mitte der Platte und der freien Kanten berechnet, wobei sich zeigt, dass schon zwei Glieder der Reihenentwickelung in jedem Fall genügen; die Zahlenergebnisse werden mit Durchbiegungsmessungen an Glasplatten verglichen, wobei sich sehr gute Uebereinstimmung, besonders in den Durchbiegungsverhältnissen zeigt.
Die Identität der Navier’schen und der Lévy’schen Methode für den gemeinsamen Fall wird nachgewiesen, und die Convergenzbetrachtungen werden durch zwei an den Anfang gestellte Theoreme erledigt.
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Full Text: DOI Numdam EuDML