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Sur l’équation des vibrations transversales des verges élastiques. (French) JFM 31.0769.01
Die Integration der partiellen Differentialgleichung der Transversalschwingung eines Stabes mit veränderlichem Querschnitt kommt hauptsächlich hinaus auf die Integration der folgenden totalen Differentialgleichung: \[ \frac{d^4y}{dx^4} = k\varphi(x)\cdot y, \] wo \(\varphi(x)\) eine wesentlich positive Function und \(k\) das Quadrat der Schwingungsfrequenz ist. Für besondere \(\varphi(x)\) ist die Aufgabe bekanntlich von Kirchhoff behandelt worden.
Für den allgemeinen Fall wendet der Verf. zunächst die Methode der fortschreitenden Annäherungen von Picard an und bestimmt durch einen convergenten unendlichen Process diejenigen Werte von \(k\), für welche die Reihenentwickelung von Picard einen Sinn hat, d. h. die Frequenzen der Eigenschwingungen.
Für jeden zulässigen Wert von \(k\) hat die vorgelegte Gleichung ein particulares Integral, und die willkürliche Function, welche die Anfangslage des Stabes darstellt, muss nach diesen Integralen entwickelt werden; ganz analog der Coefficientenbestimmung der Fourier’schen Reihe gelingt dies auch dem Verf. mit Hülfe der Beziehung \[ \int_a^b\varphi(x) y_\alpha y_\beta dx = 0\qquad (\alpha\neq\beta), \] wo \(y_\alpha\) und \(y_\beta\) zwei verschiedene Integrale der vorgelegten Gleichung sind. Die Convergenzbetrachtungen sind sehr sorgfältig durchgeführt.
Die zweite Methode, die sich an eine Arbeit von Horn anlehnt, benutzt eine asymptotische Entwickelung des Integrals, ist aber vom Verf. nicht bis zur Darstellung der ausgezeichneten Werte von \(k\) durchgeführt.

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Full Text: DOI Numdam EuDML