×

Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Maß. (German) JFM 32.0079.01

Leipz. Ber. 53, 1-64 (1901).
Die Arithmetik der ganzen Zahlen läßt sich rein logisch aufbauen und setzt kein Axiom voraus. Dagegen gründet sich die allgemeine Lehre von den meßbaren Größen auf eine Anzahl von Tatsachen, deren Formulierungen als Axiome der Quantität bezeichnet werden können. Hölder stellt folgende 6 Axiome auf. 1. Wennn zwei Größen \(a\) und \(b\) gegeben sind, so ist entweder \(a\) mit \(b\) identisch \((a=b\), \(b=a)\) oder es ist a größer als \(b\), \(b\) kleiner als \(a\) \((a>b\), \(b<a)\), oder umgekehrt \(b\) größer als \(a\) und \(a\) kleiner als \(b\); diese drei Fälle schließen sich aus. 2. Zu jeder Größe gibt es eine kleinere. Zwei Größen \(a\) und \(b\), die auch identisch sein können, ergeben in einer bestimmten Reihenfolge eine eindeutige bestimmte Summe \(a + b\). 4. \(a + b\) ist größer als \(a\) und größer als \(b\). 5. Ist \(a<b\), so gibt es ein \(x\) so, daß \(a+x =b\) und ein \(y\) so, daß \(y+a=b\) ist. 6. Es ist stets \((a+b)+c=a+(b+c)\). 7. Wenn alle Größen in zwei Klassen so eingeteilt sind, daß jede Größe einer und nur einer Klasse zugewiesen ist, daß jede Klasse Größen enthält und jede Größe der ersten Klasse kleiner ist als jede Größe der zweiten Klasse, so existiert eine Größe \(\xi\) derart, daß jedes \(\xi' <\xi\) zur zweiten Klasse gehört. \(\xi\) selbst kann je nach dem gegebenen Fall zur einen oder zur anderen Klasse gehören. Auf diese Axiome führt Hölder z. B das archimedische Axion und das kommutative Gesetz der Addition zurück; auch begründet er darauf die moderne Lehre von den Größenproportionen und die Definition der Multiplikation der Größen. Für die Anwendung der Axiome auf die Strecken iu einer Geraden formuliert er besondere Axiome und unterscheidet er Strecken erster und zweiter Richtung. – Der Ausdruck identisch in dem ersten Axiom ist nicht gut und im Widerspruch zu dem logisch feststehenden Begriff der Identität gewählt.