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Canonical forms of quaternary Abelian substitutions in an arbitrary Galois field. (English) JFM 32.0130.02

Die Abhandlung gibt für die spezielle quaternäre Abelsche lineare Gruppe mit Koeffizienten aus dem Galoisschen Felde \([p^n]\), d. h. die Gruppe aller linearen homogenen Substitutionen, welche die bilineare Form \(x_1 y_2 -x_2 y_1 +x_3y_4 - x_4y_3\) mit kogredienten Variablenpaaren \(x_i, y_i\) absolut in sich transformieren und Koeffizienten aus dem \(GF[p^n]\) haben, kanonische Formen von Substitutionen, welche selbst der Abelschen linearen Gruppe im \(GF[p^n]\) angehören. Von diesen Normalformen geht Verf. zu kanonischen Formen von Substitutionen, die von den Wurzeln der charakteristischen Gleichungen der Substitutionen abhängen, also nicht mehr notwendig Koeffizienten aus dem \(GF[p^n]\) haben, über. Gestützt auf diese kanonischen Formen, werden die Substitutionen der speziellen Abelschen Gruppe in vier Variablen mit Koeffizienten aus dem \(GF[p^n]\) in Klassen, die nur ähnliche Substitutionen enthalten, eingeteilt, und die Anzahl der von jeder Klasse umfaßten Substitutionen angegeben. Zwei Substitutionen \(A_1\) und \(A_2\) der speziellen Abelschen linearen Gruppe mit Koeffizienten aus dem \(GF[p^n]\) gelten dabei als ähnlich, wenn eine lineare homogene Substitution \(S\) von nicht verschwindender Determinante existirt, so daß\(SA_1 S^{-1}= A_2\) wird. Ohne dem sehr geschätzten Verf. zu nahe treten zu woIlen, möchte Referent sich die Bemerkung erlauben, daßnach seiner Ansicht unter Benutzunng der Elementarteiler (vergl. Muth: Theorie und Anwwendung der Elementarteiler, Leipzig, 1899, S. 1 und vorzüglich Frobenius: J. für Math. 86) und der weitgehenden formentheoretischen Ergebnisse über die Transformation einer alternierenden Form in sich, die nach \(\S\) 3 Dickson unbekannt zu sein scheinen (Frobenius: J. für Math. 84), eine vereinfachte Herleitung der Resultate möglich gewesen wäre.
In analoger Weise wie die spezielle Abelsche lineare Gruppe mit vier Variabeln im \(GF[p^n]\) wird auch die aus ihr entspringende einfache Gruppe behandelt, und die Resultate werden auf \(p^n =3\) angewandt. In diesem Spezialfalle haben wir es mit der bekannten einfachen Gruppe der Ordnung 25920, die bei der Gleichnng der 27 Geraden einer Oberfläche dritter Ordnung auftritt (Referat F. d. M. 30, 139 u. 141, 1899, JFM 30.0138.01 und JFM 30.0141.02; 31, 140 u. 143, 1900, JFM 31.0140.01 und JFM 31.0143.02 zu vgl.) zu tun. Die Operationen der Gruppe der Ordnung 25920 zerfallen in 20 Klassen, näm]ich die identische Substitution, eine Klasse von Substitutionen der Ordnung 5, vier Klassen von Substitutionen der Ordnung 3, je zwei Klassen von Substitutionen der Ordnungen 2, 4, 9 und 12 und sechs Klassen von Substitutionen der Ordnung 6.

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