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A class of groups in an arbitrary realm connected with the configuration of the 27 lines on a cubic surface. (English) JFM 32.0133.01

Die Bestimmung aller einfachen endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen hat Killing und Cartan außer auf die vier unendlichen Systeme einfacher Gruppen, die man Lie verdankt, nur noch auf fünf isolierte Gruppen mit 14, 52, 78, 133 und 248 Parametern geführt. Verf. hat bereits für irgend ein Feld \(F\) die den vier Svstemen und der Gruppe mit 14 Parametern entsprechenden Gruppen linearer homogener Substitutionen (American M. S. Trans. 2, 363-394, Referat vorstehend, siehe JFM 32.0131.03) angegeben und auf ihre Einfachheit untersucht. Der vorliegende Aufsatz bestimmt die der einfachen endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppe mit 78 Parametern entsprechende Gruppe linearer homogener Substitutionen für irgend ein \(F\). Die fragliche Gruppe Iäßt eine kubische Form \(C\) von 27 Variablen und mit 45 Termen invariant; diese Form \(C\) hängt mit der Konfiguration der von den 27 Geraden einer kubischen Fläche gebildeten 45 Dreiecke zusammen. (Vergl. Dickson im American M. S. Bull. 8, 63: the configurations of the 27 lines of a cubic surface; Referat in diesem Bande, Abschnitt VIII, Kap. 2, siehe JFM 32.0492.01). Ist \(F\) im besonderen das Galoissche Feld, welches durch die \(n\)te Potenz der Primzahl \(p\) definiert ist, so hat man eine endliche Gruppe der Ordnunng \[ p^{36n} (p^{12n} -1) (p^{9n} -1) (p^{8n} -1) (p^{6n} -1) (p^{5n} -1) (p^n -1) (p^n +2); \] diese läßt sich als transitive Permutationsgruppe des Grades: \[ (p^{9n} -1) (p^{8n} + p^{4n} +1) \] darstellen. Eine Weiterführung der Untersuchung, welche die Struktur der größten, \(C\) invariant lassenden Gruppe linearer homogener Substitutionen bestimmen soll, kündigt Verf. für eine spätere Arbeit an.

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