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Representation of linear groups as transitive substitution groups. (English) JFM 32.0134.03

Verf. beginnt zunächst mit einem einfachen Beweis des Theorems, daßdie aus der Gruppe aller linearen homogenen Substitutionen der Determinante + 1 mit \(m\) Variablen und Koeffizienten aus dem Galoisschen Felde \([p^n]\) und ihrer invarianten Untergruppe aller Substitutionen \(\xi_i' = \varrho \xi_i (i=1,2,\dots, m)\), \(\varrho^m =1\), entspringende Quotientengruppe als zweifach transitive Permutationsgruppe des Grades \(\frac{p^{nm} -1}{p^n -1}\) darstellbar ist. Hierauf wird eine Methode entwickelt, um die wichtigsten speziellen Untergruppen der linearen homogenen Gruppe mit Koeffizienten aus dem \(GF[p^n]\) als transitive Permutationsgruppen darzustellen. Dieses Verfahren wird in vorliegender Arbeit auf die gewöhnliche orthogonale Gruppe, diejenige Gruppe, welche bei geradem \(m\) die quadratische Form: \(\sum_{i=1}^{i=m-1} \xi_i^2 + \nu \xi_m^2\), wobei \(\nu\) eine nicht quadratische Zahl des \(GF[p^n]\) ist, invariant läßt und nach dem Verf. die zweite orthogonale Gruppe heißt, die Abelsche lineare und die zwei hypoabelschen Gruppen angewandt. Die behandelten Gruppen umfassen also alle Gruppen mit Koeffizienten aus \(GF[p^n]\), die quadratische Formen invariant lassen. (Vgl. Dickson: American J. 21, 193-256, ferner: Linear groups with an exposition of the Galois field theory, Second part, Chap. VII and VIII, sowie F. d. M. 30, 137, 1899, JFM 30.0137.03). Von den mannigfachen wichtigen Resultaten sei nur folgendes angeführt: Die orthogonale Gruppe der Determinante +1 kann für eine ungerade Variablenzahl als eine transitive Permutationsgruppe des Grades \(\frac{p^{n(n-1) -1}}{p^n -1}\) dargestellt werden. Die erste hypoabelsche Gruppe in \(m=2M\) Variablen, deren Koeffizienten stets einem \(GF[2^n]\) angehören, kann für \(M>1\) als transitive Permutationsgruppe von sowohl \[ (2^{nM} -1) (2^{n(M-1)} +1) : (2^n -1), \] als auch \[ (2^{nM} - 1) \cdot 2^{n(M-J)} \] Buchstaben dargestellt werden. Für \(n=1\) hat man es mit der von C. Jordan in seinem Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) untersuchten ersten hypoabelschen Gruppe zu tun, die kleinere der zwei obigen Zahlen ist für \(n=1\) die letztere \((2^M- 1) .2^{M-1}\). Das gewonnene Resultat stimmt auch mit dem Isomorphismus dieser Jordanschen ersten hypoabelschen Gruppe mit der Steinerschen Gruppe (Traité, S. 229-249) überein. Die zweite hypoabelsche Gruppe kann als transitive Permutationsgruppe von \((2^{nM} +1) (2^{n(M-1)} -1) : (2^n -1)\) Buchstaben dargestellt werden, wenn sie selbst sich auf \(2M\) Variable bezieht. Wichtig für die Untersuchung ist der in der Arbeit verwandte Begriff “sukzessiver Allgemeinheit”, welcher der orthogonalen, der zweiten orthogonalen, der Abelschen, den zwei hypoabelschen und der diesbezüglich in Math. Ann. 55 untersuchten hyperorthogonalen Gruppe zukommt.

Citations:

JFM 30.0137.03
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