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Concerning Harnack’s theory of improper definite integrals. (English) JFM 32.0299.02
Die Abhandlung beschäftigt sich mit der Betrachtung der uneigentlichen einfachen bestimmten Integrale im Sinne Harnacks. In der Einleitung werden zunächst die neuerdigs von Jordan (Cours d’analyse, 2, 1894) und Stolz (Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, 3, 1899) gegebenen Theorien der uneigentlichen einfachen und mehrfachen Integrale eingehend besprochen. Beide Theorien, soweit sie die einfachen Integrale betreffen, stehen in enger Beziehung zu der Harnackschen Theorie dieser Integrale (Math. Ann. 23 u. 24, 1883/84).
Als Definition des einfachen Integrals \[ \int_a^b F(x)dx \] wird die Stolzsche Grenzwertdefinition zu Grunde gelegt; \(F(x)\) ist in allen Punkten des Intervalles \(a\dots b\) mit Ausnahme der Punkte \(\xi\) einer Punktmenge \(\varXi\) vom Inhalte Null, eine bestimmt definierte einwertige Funktion. Ferner ist \(F(x)\) einer eigentlichen bestimmten Integration in jedem Teilintervall \(a' \dots b'\) fähig, wenn dasselbe in dem Intervalle \(a\dots b\) liegt und weder einen Punkt \(\xi\), noch einen Grenzpunkt \(\xi'\) von \(\varXi\) enthält.
Zunächst werden die Grundannahmen, Definitionen und Bezeichnungen aufgestellt. Hieran schließen sich die Definitionen, die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Existenz des “engeren” (narrow) und “weiteren” (broad) Integrals von \(F(x)\) in dem Intervalle \(a\dots b\), sowie die Fundamentalsätze über diese Integrale. Dann werden die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion \(F(x)\), welche “\(\varXi\)-integrabel” von \(a\dots b\) ist, und die absolute Konvergenz von \(\varXi\)-Integralen untersucht. Den Schluß bilden Sätze über die engeren Integrale \(\int_{a (\varXi)}^b F(x) dx\).

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