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Sur quelques quadratures dont l’élément différentiel contient des fonctions arbitraires. (French) JFM 32.0354.01
Beudon hat in einer Note (S. M. F. Bull. 28, 107-116; F. d. M. 31, 307, 1900, JFM 31.0307.01) sich mit der Quadratur beschäftigt: \[ J= \int [M (x,y,y') y'' -N(x,y,y')]dx, \] wo \(y\) eine willkürliche Funktion von \(x\) bezeichnet. Die Aufgabe ist, \(x,y\) und \(J\) als Funktion eines Arguments auszudrücken. Es ist leicht zu zeigen, daß das Problem auf die Integration eines Systems zweier Pfaffschen Gleichungen mit vier Variabeln führt. Diese ist zum erstenmal von Engel (Leipziger Ber. 41; F. d. M. 21, 340, 1889, JFM 21.0340.01) gegeben worden, indem er das System auf die kanonische Form \[ dy_2 - y_3 dy_1 =0, \quad dy_3 - y_4 dy_1 =0 \] zurückführte, deren allgemeine Lösung offenbar durch \[ y_2 = f(y_1), \quad y_3 = f'(y_1), \quad y_4 = f''(y_1) \] dargestellt wird, abgesehen von der in ihr nicht enthaltenen Lösung \[ y_1 = c_1, \; y_2 =c_2,\; y_3 = c_3. \] Für diese Zurückführung gibt der Verf. die folgende Methode. Das zu integrierende System sei \[ (1) \qquad \omega \equiv \sum_{i=1}^4 a_i dx_i =0, \; \varpi = \sum_{i=1}^4 b_i dx_i =0. \] Man bilde die bilinearen Ausdrücke \[ \omega' = \sum a_{i\kappa} (dx_i \delta x_{\kappa} - dx_{\kappa} \delta x_i),\;\varpi = \sum b_{i\kappa} (dx_i \delta x_{\kappa} - dx_{\kappa} \delta x_i) \]
\[ \left( i, \kappa = 1,2,3,4;\; a_{i\kappa} = \frac{\partial a_i}{\partial x_{\kappa}} = \frac{\partial a_{\kappa}}{\partial x_i},\;b_{i\kappa} = \frac{\partial b_i}{\partial x_{\kappa}} - \frac{\partial b_k}{\partial x_i} \right). \] Man bestimmte ferner zwei Funktionen \(u\) und \(v\), so daß \(u \omega' + v \overline \varpi'\) gleichzeitig mit den Gleichungen (1) und den aus ihnen durch Vertauschung der Symbole \(d\) mit \(\delta\) hervorgehenden verschwinden, was ohne Integration geschehen kann, und bilde die Gleichung \(\varOmega \equiv u\omega + v\varpi =0\), welche die “derivierte Gleichung” des Systems (1) genannt wird. Diese bringe man nach der Pfaffschen Methode mittels gewöhnlicher Differentialgleichungen auf die Form \(dy_2 - y_3 dy_1 =0\); die zweite Gleichung des zu (1) äquivalenten Systems lautet dann \(dy_3 - y_4 dy_1 =0\), wodurch (1) auf die oben angegenene kanonische Form zurückgeführt ist. Es folgen Anwendungen:
1. Die Gleichung \[ F\left( x,y,z, \;\frac{dy}{dx},\;\frac{dz}{dx} \right) =0. \] Das Pfaffsche System ist hier \[ \omega \equiv dy - y'dx =0,\;\varpi \equiv dz -z'dx =0 \] mit der Bedingung \(F(x,y,z,y',z') =0\). Die derivierte Gleichung ist \(\frac{\partial F}{\partial y'}\, \omega + \frac{\partial F}{\partial z}\,\varpi =0\), deren Integration das Problem löst \[ 2. \qquad \frac{\partial z}{\partial x} = A\left( x,y,z, \frac{dy}{dx} \right) \frac{d^2 y}{dx^2} + B\left( x,y,z,\;\frac{dy}{dx} \right) \] führt auf das Pfaffsche System \[ \omega \equiv dy - y'dx =0, \;varpi \equiv dz- Ady' -Bdx =0, \] und die derivierte Gleichung ist \[ \varpi+ \left( \frac{\partial A}{\partial x} - \frac{\partial B}{\partial Y} \right) \omega =0. \] 3. Berechnung des Integrals \(z= \int y^m \frac{d^2 y}{dx^2} dx\) kommmt auf die vorige Aufgabe zurück, wenn man \(A= y^m\), \(B=0\) setzt.
4. Berechnung der Quadraturen \[ u= \int \frac{dx}{1+xy}, \quad v= \int \frac{dy}{1+xy} \,. \] Das aufzulösende System ist: \[ \omega \equiv du - \frac{dx}{1+xy} =0,\quad \varpi \equiv dv - \frac{dy}{x+y} =0, \] die derivierte Gleichung \(y\omega + x\varpi =0\). Die hieraus folgenden Ausdrücke der Variabeln \(x,y,z,v\) resp. \(x,y,u,v\) in den Quadraturen (3) und (4) als Funktionen eines Arguments werden explizite angegeben.

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