×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über einen neuen Gesichtspunkt in der Theorie des Pfaffschen Problems, der Funktionengruppen und der Berührungstransformationen. (German) JFM 32.0378.01
Anknüpfend an die bekannte Theorie des Pfaffschen Problems, stellt der Verf. zunächst die Frage, unter welchen Bedingungen eine alternierende bilineare Differentialform \(\varSigma a_{i\kappa} dx_i \delta x_{\kappa} \; (a_{i\kappa} + a_{\kappa i}= 0)\) durch Punkttransformation in eine Form mit konstanten Koeffizienten überführbar ist. Es ergibt sich unmittelbar, daß die Überführung jedenfalls dann möglich ist, wenn die Form die bilineare Kovariante eines Pfaffschen Ausdrucks \(\varSigma a_i dx_i\) ist, wenn also die Differentialgleichungen: \[ \frac{\partial a_{i\kappa}}{\partial x_l} + \frac{\partial a_{\kappa l}}{\partial x_i} + \frac{\partial a_{li}}{\partial x_{\kappa}} =0 \qquad (i, \kappa,l = 1, \dots, n) \] identisch erfüllt sind. Hätte man das direkt bewiesen, ohne sich auf die Theorie des Pfaffschen Problems zu stützen, oder hätte man die vollständige Äquivalenztheorie der alternierenden Formen \(\sum a_{i\kappa} dx_i \delta x_{\kappa}\) entwickelt, so könnte man, wie der Verf. bemerkt, darauf leicht die Theorie des Pfaffschen Problems gründen. Zu den Berührungstransformationen übergebend, wundert sich der Verf., daß Lie die bilineare Kovariante eines Pfaffschen Ausdrucks niemals explizite verwendet hat; das ist aber ganz erklärlich aus der Abneigung Lies, Hülfsmittel zu benutzen, die er nicht selbst gefunden hat. Wie der Verf. bemerkt, sind die Transformationen \(x_i' = X_i\), \(p_i' = P_i\), die den Pfaffschen Ausdruck \(\sum p_i dx_i\) modulo eines vollständigen Differentials invariant lassen, einfach dadurch charakterisiert, dass sie die Differentiale \(dx_i, dp_i, \delta x_i, \delta p_i\) derart transformieren, daß die bilineare Kovariante \(\sum (dx_i \delta p_i - dp_i \delta x_i)\) invariant bleibt. Das ist eine wirkliche, sowohl formelle wie begriffliche Vereinfachung des von A. Mayer herrührenden Verfahrens zur Bestimmung der Berührungstransformationen; doch liegt wenigstens die formelle Vereinfachung (durch Benutzung der Differentiale) ziemlich nahe, wenn man die Form betrachtet, die Lie in den Math. Ann. 9, S. 257f. der Mayerschen Bestimmung gegeben hat. Bei den Berührungstransformationen in den \(z, x, p\) ist dem Verf. ein Versehen untergelaufen. Er glaubt nämlich (S. 1159 f.) eine Berührungstransformation, zu der eine beliebig gegebene Funktion \(\varrho\) gehört, durch bloße Quadraturen finden zu können, was offenbar unmöglich ist, untersucht aber nicht, ob die Differentialgleichungen, die er für eine gewisse Funktion \(\varrho_2\) aufstellt, den Integrabilitätsbedingungen genügen. Nicht ohne Wert ist endlich die Bemerkung des Verf., daß die bilineare Kovariante \(\sum (dp_i \delta x_i - dx_i \delta p_i)\) der Form \(\sum p_i dx_i\) und der Poissonsche Klammerausdruck \(\sum \left( \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} - \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \right)\) zu einander reziproke bilineare Formen sind, und daß man mit Benutzung dieser Formen zu jedem Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen in den \(x, p\) ein reziprokes System derselben Art und zu jedem System von Pfaffschen Gleichungen ein reziprokes System von Pfaffschen Gleichungen konstruieren kann. Von hier aus gelangt man in der Tat sehr leicht zu dem Lieschen Begriffe der reziproken Funktionengruppen, wenn man die vollständigen Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen ins Auge faßt, deren reziproke Systeme wieder vollständige Systeme sind, und außerdem den von Boole angegebenen Zusammenhang zwischen den Systemen von linearen partiellen Differentialgleichungen und den Systemen von Pfaffschen Gleichungen benutzt Auch die Verallgemeinerung auf eine beliebige bilineare Differentialform erscheint jetzt als ganz natürlich. – Die ganze Arbeit hat viele Berührungspunkte mit der von Kowalewski “Elementvereine und Streifenelemente”, Leipz. Ber. 1900, S. 91-104, nur daß Kowalewski sich auf die Betrachtung der Gleichung \(\sum (dx_i \delta p_i - dp_i \delta x_i) = 0\) beschränkt und den Ausdruck \(\sum (dx_i \delta p_i - dp_i \delta x_i)\) nicht verwertet. Der Verf. scheint aber diese Arbeit nicht zu kennen.

PDF BibTeX XML Cite