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Contribution to the study of meromorphic functions. (Contribution à l’étude des fonctions méromorphes.) (French) JFM 32.0415.01

Die vorliegende Abhandlung ist ein erster Versuch des Verf., die Theorie der meromorphen Funktionen in ähnlicher Weise zu behandeln, wie er die Theorie der ganzen transzendenten Funktionen behandelt hatte (F. d. M. 31, 392-393, 1900, JFM 31.0392.02).
Zunächst wird der Begriff der Ordnung auf meromorphe Funktionen ausgedehnt. Ist \(F(z)\) eine ganze (transzendente) Funktion und \(M(r)\) das Maximum des absoluten Betrages von \(F(z)\) für \(| z| = r\), so ist die Ordnung von \(F(z)\) gleich \[ \limsup_{r=\infty}\cdot \frac{\log \log M(r)}{\log r}\,. \] Bedeuten \(a_1, a_2, \dots, a_n, \dots\) die Nullstellen von \(F(z)\), jede so oft gezählt, als ihre Vielfachheit beträgt, so ist die Ordnung im allgemeinen gleich dem Konvergenzexponenten \(\varrho\) der Reihe \[ \sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{1}{| a_n |^\nu}\,; \] nur in gewissen, von Picard entdeckten Ausnahmefällen ist jener Grenzwert größer als \(\varrho\), wo dann \(\varrho\) als “wahre Ordnung” bezeichnet wird.
Sind zwei ganze Funktionen \(F(z)\) und \(G(z)\) von der endlichen Ordnung \(\varrho\) gegeben, die nur einfache Nullstellen besitzen, keine gemeinschaftlichen Nullstellen aufweisen und deren Ordnung nicht dadurch erniedrigt werden kann, daß \(F(z)\) und \(G(z)\) gleichzeitig mit demselben Exponentialfaktor, multipliziert werden, so bildet die Gesamtheit der Funktionen \[ g(z) = \frac{MG(z) + NF(z)}{M' G(z) + N'F(z)} \qquad (MN' - M'N \neq 0), \] wo \(M, M', N, N'\) ganze Funktionen bezeichnen, deren Ordnung kleiner als \(\varrho\) ist, eine Klasse meromorpher Funktionen, der ebenfalls die Ordnung \(\varrho\) zugeschrieben wird. Dabei sind drei Fälle zu unterscheiden, nachdem 1. keine der Funktionen \(g(z)\) eine ganze Funktion ist, 2. die Klasse ganze Funktionen enthält, die aber sämtlich von der wahren Ordnung \(\varrho\) sind, 3. die Klasse ganze Funktionen enthält, deren wahre Ordnung kleiner als \(\varrho\) ist. Sagt man nun, daß eine meromorphe Funktion \(f(z)\) die wahre Ordnung \(\varrho\) besitzt, wenn es keine meromorphe Funktion mit denselben Polen gibt, deren Ordnung kleiner als \(\varrho\) ist, so gilt es in \((g(z))\) höchstens zwei linear unahängige Funktionen gibt, deren wahre Ordnung kleiner als \(\varrho\) ist, nämlich in den Fällen 1., 2., 3. je 0, 1, 2. Damit wird ein berühmter Satz von Picard über die Wurzeln der Gleichung \(f(z) = \)Konst., wo \(f(z)\) eine beliebige meromorphe Funktion bedeutet, in bemerkenswerter Weise verallgemeinert, indem an Stelle der Konstante eine meromorphe Funktion \(\varphi(z)\) tritt, deren Ordnung kleiner als \(\varrho\) ist; freilich ist dabei zu beachten, daß andererseits \(f(z)\) spezialisiert wird, indem Picards Satz auch dann gilt, wenn Zähler und Nenner von \(f(z)\) durchaus beliebige ganze transzendente Funktion sind.
Weitere Sätze und der neue, wichtige Begriff der ordinären Verteilung der Nullstellen einer ganzen Funktion ergeben sich, wenn man voraussetzt, daß in \(f(z) = \frac{G(z)}{F(z)}\) der Nenner \(F(z)\) nicht nur die endliche wahre Ordnung \(\varrho\) habe, sondern auch reguläres Wachstum aufweise, d. h. daß für hinreichend großes \(\varrho\) und beliebig gegebenes positives \(\varepsilon\) nicht nur die Ungleichheit \[ M(r) <e^{r^{\varrho + \varepsilon}}, \] sondern auch die Ungleichheit \[ M(r)> e^{r^{\varrho - \varepsilon}} \] gelte. Nach dem Satze von Mittag-Leffler kann man jede meromorphe Funktion \(f(z)\) mit den einfachen Polen \(a_1, a_2, \dots, a_m, \dots\) durch eine Reihe \[ f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{A_n}{z-a_n} + g_n(z) \right) \] darstellen, wo die \(g_n(z)\) geeignete ganze Funktionen von \(z\) bedeuten. Unter jenen Voraussetsungen aber existiert eine Darstellung der Form: \[ f(z) = H(z) + \sum_{n=1}^\infty \left(\sum_{p=1}^{p_n}\;\frac{A_{n,p}}{z-a_{n,p}}\;\frac{z^{\lambda_n}}{a_{n,p}^{\lambda_n}}\right), \] wo \(H(z)\) eine ganze Funktion der Ordnung \(\varrho\) bedeutet. Beispiele zeigen, daß die Reihe auf der rechten Seite nicht mehr zu konvergieren braucht, wenn man die Parenthese wegläßt. Ist das aber erlaubt, so ergibt sich die einfache Darstellung \[ f(z) = H(z) + \sum_{n=1}^\infty\;\frac{A_n}{z-z_n} \left(\frac{z}{a_n} \right)^{\lambda_n}, \] die der Verf. als “série canonique de fractions simples” bezeichnet. Eine solche Darstellung existiert stets, wenn die Verteilung der Nullstellen von \(F(z)\) ordinär ist, d. h. wenn die Ungleichheit \[ | F'(a_n) | >e^{-| a_n |^{\varrho + \varepsilon}} \] gilt, wie klein auch \(\varepsilon\) sein möge, sobald \(n\) eine gewisse Größe überschreitet. Die gewöhnlich auftretenden ganzen Funktionen \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), \(\sigma(z)\), \(1/\varGamma (z)\) sind Funktionen, deren Nullstellen eine ordinäre Verteilung haben. Ein einfaches Beispiel einer Funktion mit extraordinärer Verteilung der Nullstellen ist das Produkt \[ \sin \pi z\cdot \sin \alpha \pi z, \] wenn die Konstante \(\alpha\) geeignet bestimmt wird, was zu interessanten arithmetischen Betrachtungen Anlaß gibt.
Zum Schluß formuliert der Verf. einige Fragen aus der Theorie der meromorphen Funktionen, die ihm eine genauere Untersuchung zu verdienen scheinen.

MSC:

30D30 Meromorphic functions of one complex variable (general theory)

Citations:

JFM 31.0392.02
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Full Text: DOI Numdam EuDML