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La fonction Gamma; théorie, histoire, bibliographie. (French) JFM 32.0439.05

Paris: Gauthier-Villars. VII + 94 S. \(8^\circ\) (1901).
Die vorliegende Monographie über die \(\varGamma\)-Funktion hat das Ziel, alle wesentlichen Eigenschaften dieser berühmten Transzendente und der mit ihr verknüpften Funktionen abzuleiten, insoweit dies allein auf Grund ihrer Definition durch ein unendliches Produkt, ohne ihre Integraldarstellung zu Hülfe nehmen zu müssen, möglich war. Es werden die Betrachtungen fast ausschließlich nur für reelle Werte des Argumentes durchgeführt, ohne daßdeshalb die neueren Ideen, welche die Theorie der \(\varGamma\)-Funktion so bedeutend vervollkommnet haben, außer Acht gelassen sind.
Dem Titel entsprechend, ist auch die Geschichte und Bibliographie der \(\varGamma\)-Funktion berücksichtigt Das erste Kapitel enthält eine kurze Skizze geschichtlichen Inhaltes; die ersten Spuren der \(\varGamma\)-Funktion finden sich bei Wallis und Stirling, wenn sie auch erst von Euler wirklich in die Analysis eingeführt ist. Außerdem finden sich noch in den zahlreichen Textanmerkungen der folgenden Kapitel, welche der Theorie der \(\varGamma\)-Funktion gewidmet sind, historische und bibliographische Nachweise.
In dem zweiten Kapitel wird die \(\varGamma\)-Funktion durch die Formel \[ \varGamma(x) = \lim_{n= \infty}\;n^x \frac{n!}{x(x+1) \cdots (x+n)} \] definiert; auf ihr wird vornehmlicher Benutzung der Reihenmethode die ganze Theorie der \(\varGamma\)-Funktion aufgebaut. Aus der Definition folgt sofort die Funktionalgleichung \[ \varGamma (x+1) - x\cdot \varGamma (x) =0, \] welche umgekehrt die \(\varGamma\)-Funktion definieren kann, wenn man noch die Bedingung \[ \lim_{n= \infty} \frac{\varGamma (x+n)}{n^x (n-1)!} =1 \] hinzunimmt.
Verallgemeinert man die Funktionalgleichung, und bestimmt man die Funktionen \(F(x)\) so, daß \[ F(x+1) - x\cdot F(x) = A \text{ und } \lim_{n= \infty} \frac{F(x+n)}{n^x (n-1)!} =B \] (\(A\) und \(B\) konstant) ist, so wird man auf die wichtigen Prymschen Funktionen \(P(x),Q(x)\) geführt, deren Summe gleich \(\varGamma(x)\) ist.
Zum Schlusse werden die Resultate mitgeteilt, welche die Untersuchung der Gleichung \(P(x)=0\) bis jetzt ergeben hat.
In dem dritten Kapitel werden die bekannte Eulersche Formel \[ \Gamma(x) \varGamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x} \] und die ähnlichen Formeln von Legendre, Gauß, Mellin abgeleitet, und der Zusammenhang mit der hypergeometrischen Reihe wird klargestellt. Das Studium der Binetschen Funktion \(\omega(x)\) und der ersten und zweiten logarithmischen Ableitung von \(\varGamma(x)\), welche mit \(\varPhi(x)\) und \(\varPsi(x)\) bezeichnet sind, bilden den Inhalt der beiden nächsten Kapitel. Aus den Formeln für \(\omega(x)\) folgen die Formeln von Gudermann und Stirling.
In dem sechsten Kapitel werden die Funktionen \(\log \varGamma (1+x)\), \(\varGamma(1+x)\), \(1/\varGamma(1+x)\), \(P(1+x)\), \(Q(1+x)\), \(\varPhi(1+x)\) und \(\varPsi(1+x)\) in Potenzreihen entwickelt.
Das letzte Kapitel bringt Anwendungen der \(\varGamma\)-Funktion auf die Berechnung des Grenzwertes unendlicher Produkte und Reihen, deren allgemeines Glied eine rationale Funktion des Index ist, und auf die Auflösung gewisser Funktionalgleichungen, in denen eine rationale Funktion der Veränderlichen auftritt. Den Schlußbildet die Auflösung der Crelleschen Gleichungen: \[ \begin{aligned} F(x,y,z + a) & = F(x,y,z) \cdot F(x+yz, y, a),\\ F(\lambda x, \lambda y, z) & = \lambda^z \cdot F(x,y,z),\\ F(x,y,1) & = x.\end{aligned} \] Dies ist in Kürze der Inhalt des Buches, welches nicht uur eine klare und leicht verständliche Darstellung der Theorie der \(\varGamma\)-Funktion gibt, sondern auch zu weiteren Untersuchungen auf diesem Gebiete anzuregen geeignet ist.

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