Recherches sur les séries de fonctions cylindriques dues à C. Neumann et W. Kapteyn. (French) JFM 32.0467.01

Nielsen, N.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 18, 39-75 (1901).

Der erste Teil der Arbeit betrifft die Reihen \[ (\gamma) \qquad \left( \frac 2x\right)^\nu \sum_{n=0}^\infty a_n J^{r+n} [(n+ \nu) x], \]
\[ (\delta) \qquad \left( \frac 2x \right)^{\mu +\nu} \sum_{n=0}^\infty a_n' J^{\mu +n} [(\mu + \nu +2n)x] J^{\nu +n} [(\mu + \nu +2n)x]. \] Die erste dieser Reihen ist eine Verallgemeinerung einer von W. Kapteyn aufgestellten Entwickelung, die zweite wird vom Verf. neu eingeführt. Er bezeichnet diese Reihen als Kapteynsche Reihen erster und zweiter Art, während die nach Zylinderfunktionen mit dem Argumente \(x\) und nach Produkten zweier solchen Funktionen fortschreitenden Reihen Neumannsche Reihen erster und zweiter Art genannt werden.
Der Gang der Untersuchung ist folgender. Unter der Voraussetzung, daßeine Entwickelung von der Form \((\gamma)\) möglich ist, und daßdiese Reihe in eine Potenzreihe transformiert werden kann, deren Konvergenzkreis den Nullpunkt zum Mittelpunkt hat, wird gefragt: wann stellt die Reihe \((\gamma)\) die Zahl 1 dar? Ersetzt man die einzelnen \(J^{\nu +m}\) durch ihre Potenzreihen, so ergeben sich die erforderlichen Bedingungen für die Koeffizienten \(a_n\); ihnen wird genügt durch \[ a_{2n+1} =0, \quad a_{2n} = \frac{\nu^2}{n!} \frac{\varGamma (n+\nu)}{(\nu + 2n)^{\nu +1}} \,. \] Weiter wird die Konvergenz der so erhaltenen speziellen Reihen untersucht, indem \(| J^\omega (\xi) |\) durch den jedenfalls größeren Wert \[ \frac{\left| \left(\frac{\xi}{2} \right)^\omega \right| e^{\left| \frac{\xi^2}{4\omega} \right|}}{| \varGamma (\omega +1)|} \] ersetzt und die Näherungsformel für \(\varGamma(\omega)\) angewandt wird. Indem man nun in der so erhaltenen Entwickelung \(\nu\) der Reihe nach durch \(\nu +1, \nu +2, \dots\) ersetzt, gelangt man zur Umformung einer Potenzreihe in eine Reihe der Form \((\gamma)\); und für diese gilt folgender Satz:
Eine Potenzreihe \[ F(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n \left(\frac x2 \right)^n \] mit dem Konvergenzradius \(\varrho\) kann stets und nur auf eine Art in eine Kapteynsche Reihe erster Art entwickelt werden: \[ F(x) = \left( \frac 2x \right)^\nu \sum_{n=0}^\infty \frac{b_n^\nu}{(\nu + n)^{\nu +1}} J^{\nu +n} [(\nu + n)x], \] worin \[ b_n^\nu = \sum_{p=0}^{\leqq \frac 12 n}\;\frac{(\nu + n -2p)^2 \varGamma (\nu + n -p)}{p! (\nu + n)^{n-2p}}\;c_{n-2p} \] ist und \(\nu\) einen beliebigen endlichen Wert haben kann, der nur nicht gleich einer negativen ganzen Zahl sein darf. Die Reihe ist absolut konvergent, falls \(| x|\) kleiner ist als die beiden positiven Zahlen \(\varOmega(1)\) und \(\varGamma (\varrho)\). \(\varGamma (\varrho)\) bezeichnet die positive Wurzel der transzendenten Gleichung \[ \tfrac x2\;e^{1+ \frac{x^2}{4}} = \varrho. \]
Ähnliche Resultate ergeben sich hinsichtlich der Reihe \((\delta)\), falls keine der Zahlen \(\mu, \nu, \mu + \nu\) eine ganze Zahl ist. Die Form der Entwicklung einer Funktion \(F(x)\) in eine Reihe von der Form \((\delta)\) ist für Funktionen, die nur gerade, und für solche die nur ungerade Potenzen von \(x\) enthalten, etwas verschieden.
Weiter werden Beziehungen zwischen den Entwickelungen einer Funktion \(f(\alpha x)\) in eine Kapteynsche Reihe erster, resp. zweiter Art und den Entwickelungen derselben Funktion in einen Neumannsche Reihe abgeleitet. Hier ergibt sich folgendes Resultat. Hat man für \(f(\alpha x)\) die beiden Entwickelungen \[ f(\alpha x) = \left(\frac 2x \right)^\nu \sum_{n=0}^\infty\;\frac{{\mathfrak A}^{\nu, n} \left( \frac{\alpha}{\nu +n} \right)}{(\nu +n)^{\nu +1}}\;J^{\nu +n} [(\nu + n)x], \]
\[ f(\alpha x) = \left(\frac 2x \right)^\nu \sum_{n=0}^\infty (\nu +n) A^{\nu, n} (\alpha) J^{\nu +n} (x), \] so ist \[ \alpha^2 \frac{d^2 A^{\nu, n} (\alpha)}{d\alpha^2} + (2\nu +1) \alpha\;\frac{dA^{\nu, n} (\alpha)}{d\alpha} + \nu^2 A^{\nu, n} (\alpha) = {\mathfrak A}^{\nu, n} (\alpha); \] und eine Gleichung von ganz derselben Form besteht zwischen den Koeffizienten der Entwickelung von \(f(\alpha x)\) in eine Reihe der Form \((\delta)\) und in eine nach den Produkten \(J^{\mu +n}(x) J^{\nu +n} (x)\) fortschreitende Neumannsche Reihe zweiter Art. Man hat damit ein Mittel, um für alle Funktionen, für die man die Neumannschen Reihen kennt, die Kapteynsche Reihen abzuleiten. Es wird dies benutzt, um Relationen aufzustellen zwischen den Funktionen \(O^{\nu, n} (y)\), die bei der Entwicklung von \(\frac{1}{y-x}\) nach Zylinderfunktionen, und den Funktionen \({\mathfrak V}^{\nu, n} [(n+ \nu)y]\), die bei Entwicklung von \(\frac{1}{y-x}\) in eine Reihe der Form \((\gamma)\) auftreten. Ähnliche Relationen werden zwischen den Koeffizienten der Entwicklung von \(\frac{y}{y^2 - x^2}\) in eine Reihe der Form \((\delta)\) und in eine Neumannsche Reihe zweiter Art hergeleitet.
Im letzten Abschnitt leitet der Verf. durch Kombination verschiedener Reihen und Darstellung der Koeffizienten durch bestimmte Integrale folgende Identität ab: \[ -\frac{2y}{\pi}\;D_y \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f\left(x \cos \varphi,\;\frac{y}{\sin 2\omega}\right) \cos (2\nu \varphi) (\text{tg\,} \omega)^{2\nu} d\varphi d\omega = f(x,y), \] worin \(f(x,y)\) eine Funktion von der Form \(\varSigma a_{2n}\;\frac{x^{2n}}{y^{2n+1}}\) ist, sowie eine analoge Gleichung für eine Funktion von der Form \(\varSigma a_{2n+1}\;\frac{x^{2n+1}}{y^{2n+2}}\). Durch Anwendung dieser Identitäten auf die speziellen Funktionen \(\frac{y}{y^2 - x^2}\) und \(\frac{x}{y^2 - x^2}\) in Verbindung mit der Formel \[ J^{\frac{n+ \nu}{2}} (x) J^{\frac{n- \nu}{2}} (x) = \frac {2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} J^n (2x \cos \varphi) \cos (\nu \varphi) d\varphi \] gelingt es ihm, Beziehungen zwischen den Neumannschen Reihen erster und deren zweiter Art aufzufinden, desgleichen zwischen den Kapteynschen Reihen erster und zweiter Art. Diese Beziehungen bestehen für die Neumannschen Reihen darin, daßfür den Fall \(\nu =0\), \(\mu + \nu =0\) oder \(\mu + \nu =1\), der Koeffizient \({\mathfrak U}^{\nu, n} (y)\) der bei der Entwickelung von \(\frac{y}{y^2 -x^2}\) in eine Neummansche Reihe zweiter Art auftritt, sich durch ein Integral ausdrücken läßt, das die Funktion \(O^n (y)\), d. h. den Koeffizienten von \(J^n (x)\) bei der Entwicklung von \(\frac{1}{y-x}\), enthält, und umgekehrt \(O^n (y)\) durch ein Integral, das \({\mathfrak U}^{\nu, n} (y)\) enthält. Damit ergeben sich die Reihen zweiter Art als unmittelbare Folgerungen aus denen erster Art. Eine Verallgemeinerung auf andere Entwicklungen von \(1/(y-x)\) wird angedeutet.
Nachdem noch mittels der Entwicklungen von \(\frac{y}{y^2 -x^2}\) und \(\frac{x}{y^2 -x^2}\) verschiedene spezielle Formeln, die Zylinderfunktionen enthalten, abgeleitet sind, z. B. \[ 1+2 \sum_{n=0}^\infty [J^n (2nx)]^2 = \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}, \]
\[ \int_0^\varphi \frac{d\varphi}{\sqrt{1- \kappa^2 \sin^2 \varphi}} = 2\sum_{n=0}^\infty \varepsilon_{2n} [J^n (\kappa)]^2 \int_0^\varphi O^{2n} \left( \frac{2}{\sin \varphi} \right) \frac{d\varphi}{\sin \varphi}, \] wird schließlich gezeigt, daßdie vorher erwähnte Funktion \({\mathfrak U}^{\nu, n} (y)\) einer linearen Differentialgleichung vierter Ordnung genügt.

Reviewer: Wangerin, Prof. (Halle a. S.)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 2. Besondere Funktionen. D) Kugelfunktionen und verwandte Funktionen.