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Über den Rauminhalt. (German) JFM 32.0486.01

Zwei Polyeder \(\varPi'\) und \(\varPi''\) heißen “endlichgleich”, wenn aus ihnen durch geeignetes Hinzufügen resp. kongruenter Polyeder zwei Polyeder \(\overline{\varPi}'\) und \(\overline{\varPi}^{\prime\prime}\) hervorgehen, die ihrerseits in resp. kongruente Polyeder zerlegbar sind. Sind \(\varPi'\) und \(\varPi''\) selbst schon in resp. kongruente Polyeder zerlegbar, so heißen sie “zerlegungsgleich”, anderenfalls “ergänznngsgleich”. – Daß die Gleichheit des Inhaltes zweier Polyeder für die Zerlegungsgleichheit nicht ausreicht, hat der Verf. bereits in einer früheren Arbeit (Gött. Nach. 1900; vergl. F. d. M. 31, 505, JFM 31.0505.02) nachgewiesen; hier wird gezeigt, daß aus der Inhaltsgleichheit auch die Endlichgleichheit nicht gefolgert werden könne. Es seien \(p_1', p_2', \dots;\; p_1^{\prime\prime}, p^{\prime\prime}_2, \dots\) die Kanten zweier endlichgleichen Polyeder, \(\pi_1', \pi_2', \dots;\; \pi^{\prime\prime}_1, \pi^{\prime\prime}_2, \dots\) die an ihnen liegenden Flächenwinkel, ferner \(L_i (p_1', p_2', \dots;\; p_1^{\prime\prime}, p^{\prime\prime}_2, \dots)\; (i= 1, 2, \dots)\) das System von einander unabhängiger linearer, homogener Relationen mit rationalen Koeffizienten, welches zwischen \(p_1', p_2', \dots, p^{\prime\prime}_1, p^{\prime\prime}_2, \dots\) besteht. Man ersetze jetzt in diesen Relationen die \(p', p''\) durch Unbekannten auf. Da diese Gleichungen Lösungen besitzen (nämlich wenigstens die eine \(p'_1, \dots, p^{\prime\prime}_1, \dots)\), und ihre Koeffizienten rational sind, so besitzen sie auch rationale Lösungen. Es gilt nun der Satz: Ist \(r_1', r_2', \dots;\; r^{\prime\prime}_1, r^{\prime\prime}_2, \dots\) irgend ein rationales Lösungssystem jener Gleichungen, so ist stets \[ r_1' \pi_1' + r_2' \pi_2' + \cdots - (r^{\prime\prime}_1 \pi^{\prime\prime}_1 + r^{\prime\prime}_2 \pi^{\prime\prime}_2 + \cdots) = r\cdot R, \] wo \(r\) eine rationale Zahl und \(R\) einen rechten Winkel bezeichnet. Als Beispiel wird gezeigt, daß zwei reguläre Tetraeder niemals einem regulären Tetraeder endlichgleich sein können.

Citations:

JFM 31.0505.02
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References:

[1] Siehe vor Allem, D. Hilbert, Grundlagen d. Geom. 1899.
[2] Das Problem, das durch die vorliegende Arbeit erledigt wird, gehört zu den 23 Problemen, die von D. Hilbert in seinem Pariser Vortrag (Gött. Nachr. 1900, Heft 8) aufgestellt sind.
[3] Göttinger Nachrichten 1900.
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