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Die Elemente zweiter Ordnung in der ebenen projektiven Geometrie. (German) JFM 32.0533.01
Leipz. Ber. 53, 338-403 (1901).
Ein eigentliches Element zweiter Ordnung kann definiert werden als der Inbegriff aller analytischen Kurven, welche in einem regulären Punkte \(X\), der kein Wendepunkt ist, eine Berührung zweiter Ordnung mit einander haben. Die sämtlichen eigentlichen Elemente zweiter Ordnung bilden ein Kontinuum von vier Dimensionen. Die Untersuchung desselben führt den Verf. zu einer Reihe interessanter Resultate; indessen besteht ihr Hauptwert in den allgemeinen Gesichtspunkten, welche hierbei zur Sprache kommen und bei mannigfachen Untersuchungen von Bedeutung werden können. – Das vorliegende Kontinuum ist noch kein abgeschlossenes (im Sinne G. Cantors), und es entsteht das Bedürfnis, dasselbe durch Hinzufügung weiterer “uneigentlicher” Elemente zu einem abgeschlossenen zu ergänzen. Es wird betont, daß derartige Ergänzungen in vielen Fällen nicht nur auf verschiedene Art möglich, sondern je nach dem Kreise der Untersuchungen auch zweckmäßig sein können. Zur Erläuterung sei auf die euklidische Geometrie (der Ebene) hingewiesen. Ihre Punkte bilden kein abgeschlossenes Kontinuum. In der projektiven Geometrie hat man dasselbe in bekannter Weise durch Hinzunahme von unendlich vielen uneigentlichen (unendlich fernen) Punkten zu einem abgeschlossenen ergänzt. In der Funktionentheorie dagegen wird bei graphischer Darstellung der komplexen Zahlen die Ergänzung durch Hinzunahme eines einzigen Elementes bewirkt, und dieselbe Ergänzung ist vorteilhaft für die Geometrie, welche neben dem Punkte nicht die Gerade, sondern den Kreis als Element einfährt, und wo also ein Interesse besteht, die fundamentalen über Kreise geltenden Sätze ohne Einschränkung aussprechen zu können.
Wird das Kontinuum der eigentlichen Elemente zweiter Ordnung vom Standpunkte der projektiven Geometrie betrachtet, so wird man für die hinzuzunehmenden uneigentlichen Elemente eine Definition fordern, welche gegenüber der Gruppe \(g_8\) aller Kollineationen inwariant bleibt. Wenn man überdies voraussetzt, daß diese Elemente, welche ja nur Ausnahmeelemente sein sollen, ein Gebiet von weniger als vier Dimensionen erfüllen, so ergeben sich, wie nachgewiesen wird, nur vier Möglichkeiten der Ergänzung (\(\S\) 6 u. 7). In dem einen Falle (Fall IV) hat man \(\infty^3\) Elemente, deren jedes als Inbegriff der analytischen Kurven gedeutet werden kann, die eine gegebene Gerade zur Wendetangente in einem auf ihr gegebenen Punkte haben, und \(\infty^3\) Elemente von reziproker Definition: Inbegriff der analytischen Kurven mit gegebenem Rückkehrpunkte und zugehöriger Rückkehrtangente. Von diesem Falle der Ergänzung gelangt man zu Fall I durch die folgenden Operationen: 1. Man identifiziere alle diejenigen uneigentlichen Elemente zweiter Ordnung der ersten Art, welche zu derselben Wendetangente gehören, 2. man wende die zu 1. reziproke Operation an. Wird auf Fall IV nur eine dieser beiden Operationen angewandt, so gelangt man zu den Fällen II und III, bei denen das Prinzip der Dualität geopfert ist, und die schon darum von geringerem Interesse sind.
Zur analytischen Darstellung der Elemente zweiter Ordnung wird ein Koordinatensystem zu wählen sein, welches alle diese Elemente gleichmäßig zu bezeichnen gestattet, und hierfür wird es darauf ankommen, welche der vier möglichen Arten der Ergänzung vorgenommen wurde. Im Falle I, der allein noch näher ausgeführt werden soll, wird ein solches wie folgt erreicht: 1. Sechs Zahlen \(X_1, X_2, X_3, U_1, U_2, U_3\) bezeichnen ein Element, wenn sie nicht sämtlich verschwinden und der Bedingung \(X_1U_1 + X_2 U_2 + X_3 U_3 =0\) genügen. 2. Zwei solche Systeme \(X_1, \dots, U_3\) und \(X_1', \dots, U_3'\) bezeichnen dasselbe Element, wenn ein Faktor \(\varrho\) so bestimmbar ist, daß \(X_i' = \varrho X_i\), \(U_i' = \varrho \varepsilon U_i\; (i = 1,2,3)\) wird, wo \(\varepsilon\) irgend eine dritte Einheitswurzel bedeutet. Die geometrische Deutung der Koordinaten ist einfach folgendermaßen zu beschreiben: Es bezeichnen \(X_1, X_2, X_3\) bezw. \(U_1, U_2, U_3\) die homogenen Koordinaten des zu dem Element zweiter Ordnung gehörigen Punktes, bezw. der zugehörigen Geraden. Das Element ist uneigentlich, wenn alle \(X\) oder alle \(U\) verschwinden. Ist im Falle eines eigentlichen Elementes \(f= 0\) die Gleichung irgend eines das Element enthaltenden Kegelschnittes in Punktkoordinaten und so gewählt, daß die Determinante =1 wird, so bestehen zwischen den \(X\) und \(U\) des Elementes die Beziehungen \(U_i= \frac 12 \frac{\partial f}{\partial X_i}\) \((\S 1)\).
Von größter Wichtigkeit ist der Begriff der vereinigten Lage zweier konsekutiven Elemente (\(\S\) 2). Er wird zunächst abstrahiert aus der Betrachtung eines Teiles einer analytischen Kurve, innerhalb dessen sie sich sowohl als Ordnnngs- wie als Klassenkurve regulär verhält. Zwei konsekutive Elemente eines solchen Kurventeils gelten als in vereinigter Lage befindlich, und ihre Gesamtheit stellt einen Elementenverein dar. Der Wunsch, auch hier Abgeschlossenheit zu erzielen, führt dazu, auch alle zu demselben Element erster Ordnung gehörigen Elemente zweiter Ordnung unter Einschluß der beiden uneigentlichen als Verein (systatischer oder trivialer Verein) und zwei konsekutive Elemente unter ihnen als in vereinigter Lage befindlich zu bezeichnen.
Die Gruppe \(g_8\) aller Kollineationen ist, aufgefaßt als Permutationsgruppe der Elemente zweiter Ordnung, auf mehrere Arten imprimitiv (\(\S\) 3). Sie läßt sich in sehr einfacher Weise erweitern. Bezeichnen nämlich \(\sigma, \tau\) irgend zwei von 0 verschiedene Verhältniszahlen, so hat die Permutation, welche \(X_1, \dots, U_1, \dots\) in \(\sigma X_1, \dots, \tau U_1, \dots\) überführt, die Eigenschaft, jeden trivialen Verein in sich zu transformieren. Die Gesamtheit aller dieser Permutationen bildet eine Gruppe \(g_1\), aus deren Kombination mit \(g_8\) eine Gruppe \(g_9\) resultiert. Auch diese ist projektiv-ivariant; sie besitzt die charakteristische Eigenschaft, zwei in Kegelschnittlage befindliche Elemente zweiter Ordnung (d. h. solche, welche durch einen Kegelschnitt verbunden werden können) stets wieder in ebensolche Elemente überzuführen. Auf die weiteren hiermit in Verbindung stehenden Tatsachen (\(\S\) 5) soll nicht näher eingegangen werden.
Der Umstand, daß je drei verschiedene Proportionalsysteme, nämlich \(X_1, X_2, X_3, \varepsilon U_1, \varepsilon U_2, \varepsilon U_3\) \((\varepsilon = \root 3\of 1)\) ein und dasselbe eigentliche Element zweiter Ordnung darstellen, führt dazu, jedem solchen Element drei verschiedene “Orientierungen” zuzuweisen (\(\S\) 5). Das so entstehende System der “orientierten Elemente” läßt sich dann, wie unmittelbar ersichtlich, in einfachster Weise auf die Gesamtheit der Geraden des Raumes ausnahmslos ein-eindeutig abbilden (\(\S\) 10 u. 11). Hierbei werden ein Punkt und eine (nicht inzidente) Ebene ausgezeichnet, indem ihre Geraden den uneigentlichen Elementen entsprechen. Beim Übergang von den nicht orientierten zu den orientierten Elementen erfahren die Gruppen \(\gamma_1, \gamma_8, \gamma_9\), entsprechende Erweiterungen zu Gruppen \(\gamma_1, \gamma_8, \gamma_9\), welche in der Liniengeometrie Kollineationsgruppen von sehr einfacher geometrischer Bedeutung werden.
Auf die Anwendungen zur Theorie der Differentialgleichungen zweiter Ordnung sei nur kurz hingewiesen (\(\S\S\) 5, 8, 9). Durch konsequente Betrachtung auch der uneigentlichen Elemente erfährt dieselbe eine wesentliche Ergänzung und Abrundung. Eine zwischen den Koordinaten der Elemente zweiter Ordnug bestehende Gleichung definiert einen aus \(\infty^3\) Individuen bestehenden Komplex, und das Integrationsproblem besteht darin, aus dem Komplex auf alle möglichen Arten Vereine herauszuheben. Für die algebraischen Differentialgleichungen wird eine Einteilung in Gattungen gegeben. Die Gesamtheit der Gleichungen einer Gattung bildet wieder ein abgeschlossenes Kontinuum. Dabei müssen natürlich auch sogenannte triviale Gleichungen mit in den Kreis der Betrachtung gezogen werden, welche nach gewöhnlicher Auffassung nur mehr von der ersten Ordnung sind oder auch sogar die Ableitungen erster Ordnung nicht mehr enthalten. Es wird sodann auch eine geometrische Deutung des Integrationsproblems für die Übertragung auf die Liniengeometrie gegeben (\(\S\) 12).
Die letzten Abschnitte (\(\S\S\) 13-15) behandeln die Krümmung der Elemente zweiter Ordnung in der ebenen oder sphärischen Maßgeometrie, den Zusammenhang zwischen ihren projektiven und elementaren Koordinaten und bringen Beispiele zu der entwickelten Theorie.