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Sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques. (French) JFM 32.0564.06

Die Abhandlung entwickelt die Gesichtspunkte, nach welchen die Klasseneinteilung der ternären Formen mit ganzzahligen Koeffizienten zu erfolgen hat, sobald zwei Formen als äquivalent angesehen werden, wenn sie durch birationale Transformationen mit ganzzahligen Koeffizienten in einander übergehen. Sie behandelt ausführlicher die Kurvengleichungen vom Geschlechte Null oder Eins mit ganzzahligen Koeffizienten.
Betrachtet man zunächst die Unikursalkurven, so zeigt sich, daßein Kegelschnitt unendlich viele rationale Punkte hat, sobald er einen besitzt, und daßer alsdann einer rationalen Geraden (d. i. einer Geraden mit rationalen Koordinaten) äquivalent ist; es gibt also zwei verschiedene Klassen rationaler Kegelschnitte, je nachdem sie einen rationalen Punkt besitzen oder nicht. Eine rationale Unikursalkurve \(n\)-ter Ordnung ist aber stets entweder einer rationalen Geraden oder einem rationalen Kegelschnitte äquivalent, je nachdem sie einen rationalen Punkt besitzt oder nicht. In letzterem Falle kann man nämlich auf der Kurve unendlich viele rationale Punktepaare ausfindig machen; hierbei ist unter einer rationalen Punktgruppe ein System von \(m\) Punkten zu verstehen, für welche die symmetrischen Funktionen ihrer Koordinaten rational sind. Eine rationale Unikursalkurve ungeraden Grades ist stets einer Geraden äquivalent.
Als Normalform der rationalen Kurven vom Geschlechte Eins wird sodann die Kurve dritter Ordnung betrachtet und auf sie die Clebschsche Darstellung durch einen elliptischen über die Kurve verteilten Parameter angewandt. Mit Hülfe des Additionstheorems lassen sich aus jedem rationalen Punkte der Kurve neue ableiten, und wenn \((q + 1)\) rationale Fundamentalpunkte die Parameter \(a, a_1, a_2, \dots, a_q\) besitzen, so ist auch der Punkt mit dem Parameter \[ (3n + 1) a + p_1(\alpha_1 - \alpha) + p_2 (a_2 - \alpha) + \cdots +p_q (a_q - \alpha) \] für beliebige ganze Zahlen \(n, p_1, p_2, \dots, p_q\) rational. Die kleinste Anzahl von Fundamentalpunkten, welche zur Herleitung aller rationalen Kurvenpunkte erforderlich ist, ist eine für die Kurve charakteristische Zahl und wird als Rang der Kurve bezeichnet.
Eine rationale Raumkurve vierter Ordnung erster Art ist einer rationalen \(C_3\) äquivalent, wenn sie einen rationalen Punkt besitzt, und allgemeiner läßt sich eine Kurve \(m\)-ter Ordnung vom Geschlecht Eins auf eine Kurve \(p\)-ter Ordnung zurückführen, wenn sie eine rationale Gruppe von \(p\) Punkten besitzt. Die obigen Prinzipien werden sodann auf die Transformation der Kurven dritter Ordnung in sich angewandt. Sie werden ferner in dem Sinne weitergeführt, daßdie birationalen Transformationen, die eine Kurve dritter Ordnung in eine andere überführen, in Unterklassen nach dem Grade der Substitution eingeteilt werden.
Schließlich wird der Erweiterung gedacht, welche die Problemstellungen erfahren, wenn an Stelle des rationalen Zahlkörpers ein beliebiger algebraischer als Rationalitätsbereich für die Substitutionskoeffizienten zu Grunde gelegt wird.
Ein Ausblick auf die Methoden, welche die arithmetischen Eigenschaften der Kurven höheren Geschlechts in analoger Weise festzustellen gestatten, beschließt die Abhandlung.

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