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Über geometrische Sätze von der Natur des Pascalschen Satzes. (German) JFM 32.0574.01
Der Verf. spricht die Grundgedanken seiner Betrachtung so aus: “Man pflegt einen Satz dadurch zu verallgemeinern, daß man von den dem Satze zu Grunde liegenden Bedingungen die eine oder die andere oder mehrere zugleich fallen läßt. Man kann aber auch umgekehrt, und mit besonderem Vorteil in der Geometrie, aus einer derartigen geeigneten Verallgemeinerung ein Prinzip des Beweises für den ursprünglichen Satz herleiten. In diesem Sinne wird im folgenden eine zusammenhängende Reihe von Sätzen behandelt, die von dem gewöhnlichen Pascalschen Satze für Kegelschnitte ausgehen. Das Charakteristische des Beweisverfahrens ist stets, daß zunächst jeweils eine dem fraglichen Satze übergeordnete Identität aufgestellt wird, durch deren passende Spezialisierung der Satz selbst hervorgeht.” Von den so gewonnenen Sätzen führen wir an: Pascalscher Satz für \(C_{2n}\). Auf den Seiten eines Dreiecks seien drei Paare von Punkt-\(n\)-tupeln \(P_l, Q_l\) \((l= 1, 2, 3)\) gelegen. Man verbinde nach dem Pascalschen Prinzip die 6 Punkt-\(n\)-tupel durch \(3 C_{2n}\), also etwa \(P_1\) mit \(Q_2, P_2\) mit \(Q_3, P_3\) mit \(Q_1\), so erhält man auf der jeweiligen letzten Seite ein Rest-\(n\)-tupel \(R_l\) \((l= 3, 1, 2)\). Liegen dann die \(2.3\) Punkt-\(n\)-tupel \(P_l, Q_l\) auf einer eigentlichen \(C_{2n}\), so auch die drei Rest-\(n\)-tupel \(R_l\) auf einer eigentlichen \(C_n\), und umgekehrt. – Auf den Seiten eines Dreiecks seien drei Punkt-\(n\)-tupel \(P_l\) \((l= 1, 2, 3)\) gelegen. Man projiziere sie von den bezw. Gegenecken aus durch drei Strahlen-\(n\)-tupel \(\varPi_l\). Gehören dann die \(P_l\) einer \(C_n\) an, so auch die \(\varPi_l\) einer \(K_n\) (und umgekehrt), oder nicht, je nachdem \(n\) gerade oder ungerade ist. – Wenn von sechs Punktepaaren auf den Kanten eines Tetraeders \(T\) dreimal die drei Punktepaare einer Ebene von \(F\) einer \(C_2\) angehören, so auch das viertemal, und die \(4C_2\) gehören einer \(F_2\) an. Wenn andererseits die vier Punktepaare auf jedem der drei windschiefen Vierecke von \(T\) einer eigentlichen \(F_2\) angehören, so liegen entweder alle sechs Punktepaare auf einer \(F_2\), oder aber es liegen die sechs auf den Kanten von \(T\) zu dem bezüglichen Punktepaare und dem Paare der Endpunkte harmonischen Punktepaare auf einer \(F_2\) u. s. w.

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Full Text: EuDML