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Beziehungen der allgemeinen Fläche dritter Ordnung zu einer kovarianten Fläche dritter Klasse. (German) JFM 32.0638.01
Bekanntlich gibt es auf der Fläche dritter Ordnung \(F^3\) 72 Netze kubischer Raumkurven, welche sich zu 36 Paaren “konjugierter” Netze anordnen; jedem dieser Paare entspricht eine Schläflische Doppelsechs. Nun zeigt es sich, daß jedem dieser 36 Systeme in eigentümlicher Weise eine bestimmte Fläche zweiter Ordnung zugeordnet ist. F. Schur wurde zu dieser Fläche geführt, indem er zeigte, daß die Geraden der Doppelsechs reziproke Polaren einer (durch sie bestimmten) Fläche zweiter Ordnung sind. Einen andern Weg schlägt Reye ein, indem er von den beiden konjugierten Netzen ausgeht. Greift man je eine Kurve dritter Ordnung aus jedem der beiden Netze heraus, so bestimmen diese eine sie verbindende Fläche zweiter Ordnung. Man erhält so \(\infty^4\) Flächen zweiter Ordnung. Dieses Flächensystem ist indessen kein lineares, vielmehr erst in einem linearen System achter Stufe vollständig enthalten. Zu diesem aber gehört eine bestimmte Fläche zweiter Klasse \(H^2\), welche sich auf alle jene Flächen stützt. \(H^2\) ist die in Rede stehende Fläche, welche hier unter dem Namen “Hauptfläche” eingeführt wird. Für \(H^2\) sind die Kurven dritter Ordnung der beiden Netze “kubische Polkurven”, d. h. es gibt Polfünfecke von \(H^2\), – vollständige räumliche Fünfecke, deren Ebenen den gegenüberliegenden Kanten nach \(H^2\) konjugiert sind –, die einer solchen Kurve eingeschrieben sind, und zwar liefern je zwei aus den beiden konjugierten Netzen herausgegriffene Kurven durch ihre fünf Schnittpunkte die Ecken eines solchen. Die Fläche dritter Klasse \(\varPhi^3\), welche sich als reziproke Polare von \(F^3\) bezüglich \(H^2\) ergibt, hat die folgenden charakteristischen Eigenschaften: Sie wird eingehüllt von den Ebenen der erwähnten Polfünfecke; dieselben schneiden aus den Kurven eines der beiden konjugierten Netze (und ebenso des andern) Punkttripel aus, die zu je zweien auf Kegelschnitten liegen. Jedes Polfünfeck und seine Polarfigur bilden eine Konfiguration \((15_6, 20_3)\), welche der \(F^3\) ein- und der \(\varPhi^3\) umbeschrieben, in Bezug auf \(H^2\) sich selbst reziprok ist. Die \(F^3\) und \(\varPhi^3\) schneiden sich in den Geraden einer Schläflischen Doppelsechs. Es gibt \(\infty^4\) solche Konfigurationen. Man kann zu den Flächen \(F^3\) und \(\varPhi^3\) gelangen, indem man von zwei beliebigen Raumkurven dritter Ordnung ausgeht, die einen Schnittpunkt haben. \(F^3\) ist als Verbindungsfläche beider eindeutig bestimmt und ebenso ein Netz auf \(F^3\), dem beide angehören. \(\varPhi^3\) wird von denjenigen Ebenen eingehüllt, welche aus beiden Kurven sechs Punkte eines Kegelschnittes ausschneiden. Die Beweise dieser Sätze sind synthetisch geführt, einzelne Anmerkungen weisen jedoch auch den Weg zur analytischen Herleitung.

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References:
[1] Vgl. Crelle’s Journal f. d. r. u. a. Math. Bd. 82, S. 67 und Reye, Geometrie der Lage, 3. Aufl., II, S. 226.
[2] Herr Fr. Schur hat zuerst 1881 in diesen Annalen Bd. 18, S. 26 dreifach unendlich viele derF 8 so eingeschriebene Pentaeder nachgewiesen. Dass es deren ?5 giebt, lehrten 1884 die Untersuchungen der Herren Le Paige und Zeuthen in den Acta Math. V, p. 199 und 203.
[3] Vgl. Reye, Geometrie der Lage, 3. Aufl., III, S. 60.
[4] Vgl. Crelle’s Journal 78, S. 345 und 82, S. 64 und diese Annalen 49, S. 589.
[5] Vgl. Crelle’s Journal 82, S. 66.
[6] Bekanntlich hat Herr F. Schur (in diesen Annalen Bd. 18, S. 12) zuerst bewiesen, dass eine reelle Doppelsechs aus reciproken Polaren bezüglich einer Fläche zweiten Grades besteht. Hier ist diese FlächeH 2 unabhängig von der Doppelsechs, die ja auch imaginär sein kann, abgeleitet (vgl. 8.).
[7] In Crelle’s Journal 82, S. 67 habe ich die Mächtigkeiten dieser Mannigfaltigkeiten zu niedrig angegeben. Meinem Freunde R. Sturm verdanke ich diese Berichtigung.
[8] Vgl. Crelle’s Journal Bd. 77, S. 283.
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